Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

120 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 8 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 120 km/ha = −8 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 7 s greitėja 1,5 m/s² pagreičiu, tada 9 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 4 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 9 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

15 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 35° kampą virš horizontalės, 130 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 15 kgF = 130 Nθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 105 N jėga traukia priekinę 10 kg kaladėlę; 5 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kaladėlių pagreitį a.

m₁ = 5 kgm₂ = 10 kgF = 105 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 35° kampu virš horizontalės ir nukrinta 15 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 35°R = 15 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 35 m/s greičiu 35° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 40 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiu kampu α žemiau horizontalės jis atsitrenkia į žemę?

v₀ = 35 m/sθ = 35°h = 40 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 0,8 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 30° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rutuliuko greitį v.

L = 0,8 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,9 kg rutuliukas ant 1,1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 9 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,9 kgr = 1,1 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

2,5 kg kūnas nuslysta 11 m nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 2,5 kgθ = 45°μ = 0,15d = 11 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 12,8 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 4 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 2 kgh = 12,8 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

3,5 kg vežimėlis, judantis 11 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,4 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 20 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 6 m/s greičiu. Sąlytis trunka 50 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,4 kgv_in = 20 m/sv_out = 6 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Smagratis, kurio inercijos momentas 18 kg·m², sukasi 1100 rpm. Stabdys sukuria pastovų trinties momentą 180 N·m. Kiek apsisukimų N padaro smagratis, kol sustoja?

I = 18 kg·m²n = 1100 rpmT_b = 180 N·m

N = rev

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas rutulys pradeda judėti iš rimties ir be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 20° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jo spindulys yra 0,1 m. Raskite jo kampinį greitį ω, kai jis nuriedėjo 4 m išilgai nuožulnios plokštumos.

θ = 20°s = 4 mI = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,1 m

ω = rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 160 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1440 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 1000 N, laisvosios – 250 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 250 N

P = kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (72 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 3000 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (80 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 2160 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 3000 rpmA = 72B = 80C = 12n_out = 2160 rpm

N_D =

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 1,5 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 1,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,2 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 410 N/m, atitraukiamas 3 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 2,2 kgk = 410 N/mA = 3 cm

E = J

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

12 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 150 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,6. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 12 kgk = 150 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 12 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 40 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 4,167 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33,33/8 = 4,167 s

Atsakymas

t = 4,167 s

2.Kinematika

Atsakymas: s = 145 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 1,5·7 = 10,5 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·1,5·7² = 36,75 m

s₂ = 10,5·9 = 94,5 m

s₃ = 10,5²/(2·4) = 13,78 m

Visas atstumas

s = 36,75 + 94,5 + 13,78 = 145 m

Atsakymas

s = 145 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 6,132 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 130·sin 35° = 72,59 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 106,5 − 14,52

a = 91,97/15 = 6,132 m/s²

Atsakymas

a = 6,132 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,529 m/s²

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (105 − 22,07)/15 = 5,529 m/s²

Atsakymas

a = 5,529 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 12,51 m/s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·15/sin 70°) = 12,51 m/s

Atsakymas

v₀ = 12,51 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: α = 50,24 °

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 35·cos 35° = 28,67 m/s

v_y0 = 35·sin 35° = 20,08 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(20,08² + 2·9,81·40) = 34,46 m/s

Atsitrenkimo kampas

tan α = v_y/v_x = 34,46/28,67 → α = 50,24°

Atsakymas

α = 50,24°

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 1,505 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 0,8·sin 30° = 0,4 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,4·9,81·tan 30°) = 1,505 m/s

Atsakymas

v = 1,505 m/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 158,5 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,9·9,81 + 1,9·9²/1,1 = 18,64 + 139,9 = 158,5 N

Atsakymas

T = 158,5 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 28,61 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 24,53·0,7071 = 17,34 N

F = μN = 0,15·17,34 = 2,601 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 2,601·11 = 28,61 J

Atsakymas

W_f = 28,61 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 27,47 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(12,8 − 8) = 94,18 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·94,18/4 − 19,62 = 27,47 N

Atsakymas

N = 27,47 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 9,059 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (3,5 − 5)/(3,5 + 5)·11 = −1,941 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 5)·11 = 9,059 m/s

Atsakymas

v′₂ = 9,059 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 10,4 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,4·(6 + 20) = 10,4 N·s

Atsakymas

J = 10,4 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: N = 105,6 rev

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·1100/60 = 115,2 rad/s

Stabdžio darbas lygus kinetinei energijai

½·I·ω² = ½·18·115,2² = 119422 J

θ = 119422/180 = 663,5 rad

Apsisukimai

N = θ/2π = 105,6 rev

Atsakymas

N = 105,6 rev

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 43,79 rad/s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Nukritimo aukštis

h = s·sin θ = 4·sin 20° = 1,368 m

Energijos balansas riedant

Riedėjimas be slydimo: ω = v/r, o trintis sąlyčio taške darbo neatlieka.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,4)

v = √(2·9,81·1,368/1,4) = 4,379 m/s

ω = v/r = 4,379/0,1 = 43,79 rad/s

Atsakymas

ω = 43,79 rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 9,048 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 12,06 m/s

Galia

P = (1000 − 250)·12,06 = 9048 W = 9,048 kW

Atsakymas

P = 9,048 kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 15

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 3000·72/80 = 2700 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 12·2700/2160 = 15

Atsakymas

N_D = 15

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,457 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(1,5/9,81) = 2,457 s

Atsakymas

T = 2,457 s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 0,1845 J

Kampinis dažnis

ω = √(410/2,2) = 13,65 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·410·0,03² = 0,1845 J

Atsakymas

E = 0,1845 J

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 14,24 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(150000/12) = 111,8 rad/s

f_n = 111,8/(2π) = 17,79 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 17,79·√(1 − 0,6²) = 14,24 Hz

Atsakymas

f_d = 14,24 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 7,483 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 100 + 40 = 140 kN/m

k_eq = 140·12/(140 + 12) = 11,05 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(11053/5) = 47,02 rad/s

f_n = 47,02/(2π) = 7,483 Hz

Atsakymas

f_n = 7,483 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics