Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 250 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 1600 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 10 m/s greičiu nuo stogo, esančio 10 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 10 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

8 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 8 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

9 kg kaladėlė ant 40° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 7,5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 9 kgm₂ = 7,5 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 32 m/s greičiu 40° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 21 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 32 m/sθ = 40°x = 21 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 34 m/s greičiu 55° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 60 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiu kampu α žemiau horizontalės jis atsitrenkia į žemę?

v₀ = 34 m/sθ = 55°h = 60 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1,5 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 45° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vieno apsisukimo trukmę T.

L = 1,5 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Mažas vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas bėgiu be trinties ir įvažiuoja į vertikalią 7 m spindulio kilpą. Iš kokio mažiausio aukščio h_min virš kilpos apačios jis turi pradėti, kad kilpos viršuje neatitrūktų nuo bėgio?

R = 7 mv₀ = 0

h_min = m

9.Darbas ir energijaVidutinis

1 kg kūnas nuslysta 13 m nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 1 kgθ = 40°μ = 0,15d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

1 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 6 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 1,5 m spindulio kilpą. Raskite vežimėlio greitį v kilpos viršuje.

m = 1 kgh = 6 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1600 kg automobilis, judantis 9 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1400 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 1600 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

5 g kulka horizontaliai įšaunama į 5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1,8 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 30° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 5 gM = 5 kgL = 1,8 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 16,5 kg masės ir 0,9 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir laikomas horizontaliai. Jis paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vertikaliąją jėgą R, kuria šarnyras veikia strypą iškart po paleidimo.

m = 16,5 kgL = 0,9 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

tuščiaviduris rutulys pradeda judėti iš rimties ir be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 25° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jo spindulys yra 0,1 m. Raskite jo kampinį greitį ω, kai jis nuriedėjo 4,5 m išilgai nuožulnios plokštumos.

θ = 25°s = 4,5 mI = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,1 m

ω = rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

120 mm skriemulys sukasi 2880 rpm ir diržu suka 315 mm skriemulį, slydimas 2 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1500 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (18 dantų). Krumpliaratis C (15 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (18 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1500 rpmA = 15B = 18C = 15D = 18

n_out = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 0,6 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 0,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,5 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 70 N/m, atitraukiamas 17 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 0,5 kgk = 70 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

50 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 5 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,35. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 50 kgk = 5 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 30 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 1,507 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v = 250/3,6 = 69,44 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 69,44²/(2·1600) = 1,507 m/s²

Atsakymas

a = 1,507 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: t = 2,774 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−10 = 10·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 10·t − 10 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (10 + √(10² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,774 s

Atsakymas

t = 2,774 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,803 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 40° − 0,2·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1532) = 4,803 m/s²

Atsakymas

a = 4,803 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 70,54 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 73,58 N

m₁·g·sin θ = 56,75 N

μ·m₁·g·cos θ = 10,15 N

Sistemos pagreitis

a = (73,58 − 56,75 − 10,15)/16,5 = 0,4047 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 7,5·(9,81 − 0,4047) = 70,54 N

Atsakymas

T = 70,54 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 14,02 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 32·cos 40° = 24,51 m/s

t = x/v_x = 21/24,51 = 0,8567 s

Aukštis tuo momentu

y = 20,57·0,8567 − ½·9,81·0,8567² = 14,02 m

Atsakymas

y = 14,02 m

Prie sienos kamuolys dar kyla.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: α = 66,19 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 34·cos 55° = 19,5 m/s

v_y0 = 34·sin 55° = 27,85 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(27,85² + 2·9,81·60) = 44,19 m/s

Atsitrenkimo kampas

tan α = v_y/v_x = 44,19/19,5 → α = 66,19°

Atsakymas

α = 66,19°

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 2,066 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1,5·sin 45° = 1,061 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,061·9,81·tan 45°) = 3,226 m/s

Periodas

T = 2π·r/v = 2π·1,061/3,226 = 2,066 s

Atsakymas

T = 2,066 s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: h_min = 17,5 m

Sąlyga viršuje

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Energijos tvermė

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·7 = 17,5 m

Atsakymas

h_min = 17,5 m

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 14,65 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 9,81·0,766 = 7,515 N

F = μN = 0,15·7,515 = 1,127 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 1,127·13 = 14,65 J

Atsakymas

W_f = 14,65 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 7,672 m/s

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(6 − 3) = 58,86 m²/s²

v = 7,672 m/s

Atsakymas

v = 7,672 m/s

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 30240 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·9/3000 = 4,8 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·1600·9² = 64800 J

K_after = ½·3000·4,8² = 34560 J

Prarasta energija

ΔK = 64800 − 34560 = 30240 J

Atsakymas

ΔK = 30240 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 2177 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 1,8·(1 − cos 30°) = 0,2412 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,2412) = 2,175 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 5,005·2,175/0,005 = 2177 m/s

Atsakymas

v = 2177 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: R = 40,47 N

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Momentai šarnyro atžvilgiu

Paleidimo momentu ω = 0, todėl įcentrinio pagreičio nėra ir centras greitėja tiesiai žemyn.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·0,9) = 16,35 rad/s²

Vertikaliosios jėgos

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 16,5·(9,81 − 7,357) = 40,47 N

Atsakymas

R = 40,47 N

R = m·g/4, nepriklauso nuo ilgio.

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 47,32 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Nukritimo aukštis

h = s·sin θ = 4,5·sin 25° = 1,902 m

Energijos balansas riedant

Riedėjimas be slydimo: ω = v/r, o trintis sąlyčio taške darbo neatlieka.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,6667)

v = √(2·9,81·1,902/1,667) = 4,732 m/s

ω = v/r = 4,732/0,1 = 47,32 rad/s

Atsakymas

ω = 47,32 rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 1075 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

2880·120/315 = 1097 rpm

Su slydimu

n₂ = 1097·0,98 = 1075 rpm

Atsakymas

n₂ = 1075 rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 1042 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 1500·15/18 = 1250 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 1250·15/18 = 1042 rpm

Atsakymas

n_out = 1042 rpm

bendras perdavimo skaičius = 1,44 : 1

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 1,554 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(0,6/9,81) = 1,554 s

Atsakymas

T = 1,554 s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 2,011 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(70/0,5) = 11,83 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,17·11,83 = 2,011 m/s

Atsakymas

v_max = 2,011 m/s

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 1,491 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(5000/50) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,35²) = 1,491 Hz

Atsakymas

f_d = 1,491 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 25,66 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 30 = 130 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(130000/5) = 161,2 rad/s

f_n = 161,2/(2π) = 25,66 Hz

Atsakymas

f_n = 25,66 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics