Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 32 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 2 m/s² pagreičiu. Per kiek laiko policijos automobilis pasiveja? Raskite t.

v_car = 32 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 4,5 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 4,5 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

25 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 20° kampą virš horizontalės, 90 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 25 kgF = 90 Nθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1,5 kg kaladėlė ant 35° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 3 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3 kgθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 32 m/s greičiu 70° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 13 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 32 m/sθ = 70°x = 13 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 18 m/s greičiu 25° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 50 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 18 m/sθ = 25°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

1700 kg automobilis 14 m/s greičiu važiuoja per kelio kauburio viršūnę. Kauburio viršūnė yra 100 m spindulio apskritimo lankas. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N, kuria kelias viršūnėje veikia automobilį.

m = 1700 kgv = 14 m/sr = 100 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Judėjimas apskritimuSunkus

60 m spindulio posūkis turi 15° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią greitį v_min, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas žemyn šlaitu.

r = 60 mθ = 15°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Raskite jo greitį v, nuslydus 3 m nuokalne.

θ = 25°μ = 0,15d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg kaladėlė iš rimties būsenos 35° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 95 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 7 m aukštyn šlaitu.

m = 10 kgF = 95 Nθ = 35°μ = 0,25d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

4 kg sviedinys, horizontaliai judantis 38 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 3 kg skeveldra toliau juda pirmyn 78 m/s greičiu. Raskite 1 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 4 kgu = 38 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 78 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

8 g kulka horizontaliai įšaunama į 5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1,8 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 35° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 8 gM = 5 kgL = 1,8 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Variklis duoda 450 N·m sukimo momentą esant 500 rpm. Raskite jo išėjimo galią P kW.

T = 450 N·mn = 500 rpm

P = kW

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis plonas 4 kg masės ir 1,3 m ilgio strypas ramiai kabo ant besitrinties šarnyro viršutiniame gale. 40 g masės kulka, horizontaliai lekianti 420 m/s greičiu, pataiko į strypą 0,92 m žemiau šarnyro ir įstringa. Raskite strypo kampinį greitį ω iškart po smūgio.

M = 4 kgL = 1,3 mm = 40 gv = 420 m/sd = 0,92 m

ω = rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

120 mm skriemulys sukasi 1450 rpm ir diržu suka 315 mm skriemulį, slydimas 4 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (20 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2880 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (32 dantų). Krumpliaratis C (18 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 810 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 2880 rpmA = 20B = 32C = 18n_out = 810 rpm

N_D =

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

1,5 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 500 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 4 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 1 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 1,5 kgk = 500 N/mA = 4 cmx = 1 cm

v = m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

20 g kulka, lekianti 400 m/s greičiu, pataiko į 1 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 900 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 20 gv = 400 m/sM = 1 kgk = 900 N/m

A = cm

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 30 mm poslinkio amplitudės po 3 ciklų seka 1,7 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 30 mmx₃ = 1,7 mmn = 3

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 100 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 10 kN/m ir k₂ = 60 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 32 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·32/2 = 32 s

Atsakymas

t = 32 s

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 64 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: d = 88,29 m

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(4,5 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1544 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1544))/(2·4,905) = 4,243 s

Gylis

d = ½·9,81·4,243² = 88,29 m

Atsakymas

d = 88,29 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,525 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 90·sin 20° = 214,5 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 84,57 − 21,45

a = 63,13/25 = 2,525 m/s²

Atsakymas

a = 2,525 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,995 m/s²

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 29,43 N

m₁·g·sin θ = 8,44 N

μ·m₁·g·cos θ = 3,013 N

Sistemos pagreitis

a = (29,43 − 8,44 − 3,013)/4,5 = 3,995 m/s²

Atsakymas

a = 3,995 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 28,8 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Laikas iki sienos

v_x = 32·cos 70° = 10,94 m/s

t = x/v_x = 13/10,94 = 1,188 s

Aukštis tuo momentu

y = 30,07·1,188 − ½·9,81·1,188² = 28,8 m

Atsakymas

y = 28,8 m

Prie sienos kamuolys dar kyla.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 52,95 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 18·sin 25° = 7,607 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 7,607²/(2·9,81) = 2,949 m

Aukštis virš žemės

H = 50 + 2,949 = 52,95 m

Atsakymas

H = 52,95 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N = 13345 N

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgos viršuje

Teigiama kryptis į centrą (žemyn).

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9,81 − 1700·14²/100 = 16677 − 3332 = 13345 N

Atsakymas

N = 13345 N

Automobilis tampa lengvesnis: kelias stumia aukštyn mažesne jėga nei jo svoris.

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 9,812 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta aukštyn šlaitu.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(60·9,81·0,1622/0,9918) = 9,812 m/s

Atsakymas

v_min = 9,812 m/s

(35,32 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,108 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·3·(0,4226 − 0,15·0,9063)) = 4,108 m/s

Atsakymas

v = 4,108 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,109 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 56,27 N

μ·mg·cos θ = 20,09 N

Darbas ir energija

½mv² = (95 − 76,36)·7 = 130,5 J

v = √(2·130,5/10) = 5,109 m/s

Atsakymas

v = 5,109 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = −82 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 4·38 = 152 kg·m/s

Judesio kiekis po

152 = 3·78 + 1·v′₂

v′₂ = (152 − 234)/1 = −82 m/s

Atsakymas

v′₂ = −82 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad antroji skeveldra lekia atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 1582 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 1,8·(1 − cos 35°) = 0,3255 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,3255) = 2,527 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 5,008·2,527/0,008 = 1582 m/s

Atsakymas

v = 1582 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: P = 23,56 kW

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

Galia

P = T·ω = 450·52,36 = 23562 W = 23,56 kW

Atsakymas

P = 23,56 kW

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 6,758 rad/s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentas po smūgio

I = M·L²/3 + m·d² = 4·1,3²/3 + 0,04·0,92² = 2,287 kg·m²

Judesio kiekio momentas šarnyro atžvilgiu

Šarnyro jėga eina per šarnyrą, todėl smūgio metu ten momento neturi.

m·v·d = I·ω → ω = 0,04·420·0,92/2,287 = 6,758 rad/s

Atsakymas

ω = 6,758 rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 530,3 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1450·120/315 = 552,4 rpm

Su slydimu

n₂ = 552,4·0,96 = 530,3 rpm

Atsakymas

n₂ = 530,3 rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 40

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 2880·20/32 = 1800 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 18·1800/810 = 40

Atsakymas

N_D = 40

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,7071 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(500/1,5) = 18,26 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 18,26·√(0,04² − 0,01²) = 0,7071 m/s

Atsakymas

v = 0,7071 m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 26,4 cm

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,02·400/1,02 = 7,843 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(900/1,02) = 29,7 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 7,843/29,7 = 0,264 m = 26,4 cm

Atsakymas

A = 26,4 cm

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1506

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/3)·ln(30/1,7) = 0,9569

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9569/√(39,48 + 0,9156) = 0,1506

Atsakymas

ζ = 0,1506

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,23 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 10 + 60 = 70 kN/m

k_eq = 70·100/(70 + 100) = 41,18 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(41176/100) = 20,29 rad/s

f_n = 20,29/(2π) = 3,23 Hz

Atsakymas

f_n = 3,23 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics