Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

36 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 6 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 36 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 20 m/s greičiu nuo stogo, esančio 15 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 20 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

6 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 6 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 1,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 22 m/s greičiu 65° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 23 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 22 m/sθ = 65°x = 23 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 31 m/s greičiu 35° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 15 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite greitį v, kuriuo jis atsitrenkia į žemę.

v₀ = 31 m/sθ = 35°h = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

210 m spindulio posūkis turi 25° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 210 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,9 kg rutuliukas ant lengvo 1,3 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 11 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,9 kgr = 1,3 mv_bottom = 11 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

4 kg kūnas nuslysta 11 m nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 4 kgθ = 30°μ = 0,2d = 11 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg kaladėlė iš rimties būsenos 35° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 95 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 9 m aukštyn šlaitu.

m = 10 kgF = 95 Nθ = 35°μ = 0,25d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

15 g kulka horizontaliai įšaunama į 2 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 16 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 15 gM = 2 kgh = 16 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 18 m/s greičiu važiuojantis 2000 kg automobilis susiduria su į šiaurę 17 m/s greičiu važiuojančiu 1100 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų greitį v′ iškart po susidūrimo.

m₁ = 2000 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 17 m/s (N)

v′ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 4,5 kg masės ir 1,2 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir paleidžiamas iš rimties horizontalioje padėtyje. Prie jo laisvojo galo pritvirtintas mažas 4,5 kg masės rutuliukas. Trinties nepaisykite ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite laisvojo galo greitį v, kai strypas praeina vertikalią padėtį.

m = 4,5 kgL = 1,2 mm_ball = 4,5 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas cilindras be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 40° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jo centro pagreitį a.

θ = 40°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Du lygiagretūs velenai yra 63 mm atstumu vienas nuo kito. Juos reikia sujungti cilindrinių tiesiadančių krumpliaračių pora, kurios modulis 2 mm, o greičio sumažinimas 2,5 : 1. Kiek dantų N₂ turi turėti krumpliaratis?

a = 63 mmm = 2 mmi = 2,5

N₂ =

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 100 mm ir 315 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 1200 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 100 mmd₂ = 315 mmC = 1200 mm

θ = °

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

2,3 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 320 N/m, atitraukiamas 3 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo greitį v momentu t = 0,45 s (su ženklu).

m = 2,3 kgk = 320 N/mA = 3 cmt = 0,45 s

v = m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,2 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 470 N/m, atitraukiamas 18 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 3,2 kgk = 470 N/mA = 18 cm

E = J

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

5 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 100 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 850 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 5 kgk = 100 kN/mc = 850 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 25 kN/m, apatinės k₂ = 40 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 1,667 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/6 = 1,667 s

Atsakymas

t = 1,667 s

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 35,39 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9,81) = 20,39 m

Aukštis virš žemės

h_max = 15 + 20,39 = 35,39 m

Atsakymas

h_max = 35,39 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,427 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 40° − 0,25·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1915) = 4,427 m/s²

Atsakymas

a = 4,427 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 9,197 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 3,679)/3 = 3,679 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·3,679 + 3,679 = 9,197 N

Atsakymas

T = 9,197 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 19,31 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Laikas iki sienos

v_x = 22·cos 65° = 9,298 m/s

t = x/v_x = 23/9,298 = 2,474 s

Aukštis tuo momentu

y = 19,94·2,474 − ½·9,81·2,474² = 19,31 m

Atsakymas

y = 19,31 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v = 35,43 m/s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 31·cos 35° = 25,39 m/s

v_y0 = 31·sin 35° = 17,78 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(17,78² + 2·9,81·15) = 24,71 m/s

Greitis atsitrenkiant

v = √(25,39² + 24,71²) = 35,43 m/s

Atsakymas

v = 35,43 m/s

Patikrinkite energija: v² = v₀² + 2gh.

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 30,99 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(210·9,81·tan 25°) = 30,99 m/s

Atsakymas

v = 30,99 m/s

(111,6 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 83,65 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 11² − 4·9,81·1,3 = 69,99 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,9·69,99/1,3 − 1,9·9,81 = 83,65 N

Atsakymas

T_top = 83,65 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 74,76 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 39,24·0,866 = 33,98 N

F = μN = 0,2·33,98 = 6,797 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 6,797·11 = 74,76 J

Atsakymas

W_f = 74,76 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,793 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 56,27 N

μ·mg·cos θ = 20,09 N

Darbas ir energija

½mv² = (95 − 76,36)·9 = 167,8 J

v = √(2·167,8/10) = 5,793 m/s

Atsakymas

v = 5,793 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 238 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,16) = 1,772 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 2)·1,772/0,015 = 238 m/s

Atsakymas

v = 238 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′ = 13,09 m/s

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 2000·18 = 36000 kg·m/s

p_y = 1100·17 = 18700 kg·m/s

Nuolaužų greitis

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 40567/3100 = 13,09 m/s

Atsakymas

v′ = 13,09 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 5,147 m/s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Potencinės energijos sumažėjimas

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 4,5·9,81·0,6 + 4,5·9,81·1,2 = 79,46 J

Inercijos momentas šarnyro atžvilgiu

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 2,16 + 6,48 = 8,64 kg·m²

Energijos balansas

½·I_O·ω² = 79,46 → ω = √(2·79,46/8,64) = 4,289 rad/s

v = ω·L = 4,289·1,2 = 5,147 m/s

Atsakymas

v = 5,147 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: a = 4,204 m/s²

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 40°/1,5 = 4,204 m/s²

Atsakymas

a = 4,204 m/s²

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N₂ = 45

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: F_t = 2T/d.

Bendras dantų skaičius

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·63/2 = 63

Padalykite pagal perdavimo skaičių

N₁ = 63/(1 + 2,5) = 18

N₂ = 2,5·18 = 45

Atsakymas

N₂ = 45

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 169,7 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,08958) = 5,14°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·5,14 = 169,7°

Atsakymas

θ = 169,7°

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,2929 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(320/2,3) = 11,8 rad/s

ω·t = 11,8·0,45 = 5,308 rad

Greitis

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,03·11,8·sin(5,308) = 0,2929 m/s

Atsakymas

v = 0,2929 m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 7,614 J

Kampinis dažnis

ω = √(470/3,2) = 12,12 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·470·0,18² = 7,614 J

Atsakymas

E = 7,614 J

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,601

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·5) = 1414 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 850/1414 = 0,601

Atsakymas

ζ = 0,601

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 4,414 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/40 → k_eq = 25·40/(25 + 40) = 15,38 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(15385/20) = 27,74 rad/s

f_n = 27,74/(2π) = 4,414 Hz

Atsakymas

f_n = 4,414 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics