Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

54 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 7,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 54 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 6 m/s greičiu nuo stogo, esančio 40 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

20 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 20 kgθ = 45°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 5,5 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 1 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 35° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 34 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 40° kampu į horizontą nuo 20 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 15 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 65 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 65 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,9 kg rutuliukas ant lengvo 1,1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 11,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,9 kgr = 1,1 mv_bottom = 11,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

5 kg rutuliukas kabo ant lengvo 3 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 50° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 5 kgL = 3 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 15 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 5 m spindulio kilpą. Raskite vežimėlio greitį v kilpos viršuje.

m = 10 kgh = 15 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

4,5 kg vežimėlis, judantis 3 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 2 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1100 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 900 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 22,5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1100 kgm₂ = 900 kgd = 22,5 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Variklis duoda 750 N·m sukimo momentą esant 600 rpm. Raskite jo išėjimo galią P kW.

T = 750 N·mn = 600 rpm

P = kW

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas rutulys, kurio masė 11 kg, be slydimo rieda 1 m/s greičiu. Raskite jo sukimosi kinetinę energiją E_rot.

m = 11 kgv = 1 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

7,5 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 15; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 18. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 98 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 7,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 15N₂ = 18η = 98%

T₂ = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 120 mm varantįjį skriemulį, sukamą 1500 rpm, su 250 mm skriemuliu; ašys nutolusios 600 mm. Trinties koeficientas yra 0,25, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 600 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 120 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 250 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 600 N

P = kW

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 3 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 3 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,3 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 260 N/m, atitraukiamas 4 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 2,3 kgk = 260 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

8 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 1 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,4. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 8 kgk = 1 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 15 kN/m, apatinės k₂ = 5 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 15 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·7,5) = 15 m

Atsakymas

s = 15 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 3,532 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−40 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 40 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·40))/9,81 = 3,532 s

Atsakymas

t = 3,532 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 6,243 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 45° − 0,1·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,07071) = 6,243 m/s²

Atsakymas

a = 6,243 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 8,301 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 0)/6,5 = 8,301 m/s²

Atsakymas

a = 8,301 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 19,38 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 35° = 27,85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 35° = 19,5 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 19,5²/(2·9,81) = 19,38 m

Atsakymas

H = 19,38 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 3,229 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 40° = 11,49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 40° = 9,642 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 20 + 9,642·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,642 + √(92,96 + 392,4))/9,81 = 3,229 s

Atsakymas

t = 3,229 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 17,86 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·65) = 17,86 m/s

Atsakymas

v_max = 17,86 m/s (64,28 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 135,2 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 11,5² − 4·9,81·1,1 = 89,09 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,9·89,09/1,1 − 1,9·9,81 = 135,2 N

Atsakymas

T_top = 135,2 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 84,09 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 50°) = 21,03 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·21,03/3 = 84,09 N

Atsakymas

T = 84,09 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 84,09 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 9,905 m/s

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(15 − 10) = 98,1 m²/s²

v = 9,905 m/s

Atsakymas

v = 9,905 m/s

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 1,154 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (4,5 − 2)/(4,5 + 2)·3 = 1,154 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 2)·3 = 4,154 m/s

Atsakymas

v′₁ = 1,154 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 27,01 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·22,5) = 14,86 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2000·14,86/1100 = 27,01 m/s

Atsakymas

v₁ = 27,01 m/s

(97,24 km/h)

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: P = 47,12 kW

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

Galia

P = T·ω = 750·62,83 = 47124 W = 47,12 kW

Atsakymas

P = 47,12 kW

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: E_rot = 2,2 J

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Slenkamoji ir sukimosi dalys

E_trans = ½·m·v² = ½·11·1² = 5,5 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·5,5 = 2,2 J

Atsakymas

E_rot = 2,2 J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 58,49 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/150,8 = 49,74 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 49,74·18/15·0,98 = 58,49 N·m

Atsakymas

T₂ = 58,49 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 2,933 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Apkabos kampas

θ = 2,924 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,7311 = 2,077, T₂ = 600/2,077 = 288,8 N

Galia

P = (600 − 288,8)·9,425 = 2,933 kW

Atsakymas

P = 2,933 kW

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 2,236 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(3/2π)² = 2,236 m

Atsakymas

L = 2,236 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 4,522 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(260/2,3) = 10,63 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,04·10,63² = 4,522 m/s²

Atsakymas

a_max = 4,522 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 1,631 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(1000/8) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,4²) = 1,631 Hz

Atsakymas

f_d = 1,631 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 3,75 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/5 → k_eq = 15·5/(15 + 5) = 3,75 kN/m

Atsakymas

k_eq = 3,75 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics