Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
80 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 8 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.
Tramvajus pajuda iš vietos ir 8 s greitėja 3 m/s² pagreičiu, tada 15 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 4,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.
10 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.
1,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 6 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.
Kamuolys metamas 40° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.
Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo 15 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.
Automobilis važiuoja horizontaliu 55 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį vmax, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.
Rutuliukas ant 0,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis vmin viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?
Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 200 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,25 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 8 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.
0,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 2 m ilgio juostą (μ = 0,1) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.
12 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 16 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.
8 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 25° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.
12,5 kg masės blokas kabo ant lengvos virvės, apvyniotos ant skriemulio – vienalyčio vientiso 8 kg masės ir 0,45 m spindulio disko, besisukančio ant besitrinties horizontaliosios ašies. Blokas paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite virvės įtempimą T.
Žmogus stovi ant besitrinties sukamosios platformos ir kiekvienoje rankoje laiko po 1,5 kg hantelį, 0,8 m nuo ašies. Vien žmogaus ir platformos inercijos momentas ašies atžvilgiu yra 5 kg·m². Jie sukasi 50 rpm, tada hantelius pritraukia iki 0,3 m nuo ašies. Hantelius laikykite taškinėmis masėmis. Raskite naują greitį n2 rpm.
120 mm skriemulys sukasi 1450 rpm ir diržu suka 315 mm skriemulį, slydimas 3 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n2.
Atviras diržas jungia 200 mm ir 300 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 600 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.
Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 2,8 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.
Kūnas atlieka harmoninius svyravimus, kurių periodas 3,3 s, o amplitudė 17 cm. Per kokį trumpiausią laiką t jis nuo pusiausvyros padėties pasislenka iki 12,75 cm poslinkio?
500 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 80 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 1900 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.
10 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 25 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 60 kN/m ir k₂ = 40 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.
Atsakymas: s = 30,86 m
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Atsakymas: s = 520 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Atsakymas: a = 4,823 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.
Atsakymas: T = 14,13 N
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Atsakymas: x = 90,35 m
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2vy/g.
Atsakymas: x = 58,91 m
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
Išspręskite y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.
Atsakymas: vmax = 12,72 m/s
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Atsakymas: vmin = 2,215 m/s
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Atsakymas: h = 0,261 m
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Atsakymas: v = 9,704 m/s
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.
Atsakymas: v = 370,9 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Atsakymas: v = 425 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Atsakymas: T = 29,73 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Atsakymas: n2 = 65,65 rpm
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Kinetinė energija padidėja: papildoma energija atsiranda iš žmogaus darbo pritraukiant hantelius.
Atsakymas: n2 = 535,8 rpm
Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = eμθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.
Atsakymas: θ = 170,4 °
Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = eμθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.
Atsakymas: L = 1,948 m
Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².
Atsakymas: t = 0,4454 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Atsakymas: ζ = 0,1502
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.
Atsakymas: fn = 7,118 Hz
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Lygiagrečiai sujungtos tik k1 ir k2. Ši pora nuosekliai sujungta su k3, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics