Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Atsitiktinių imčių tyrime 130 pacientų gavo naują gydymą, o 570 gavo kontrolinį gydymą. Lentelėje parodyta, kiek kiekvienoje grupėje buvo: baigtis (nepageidaujamas įvykis, pavyzdžiui, insultas). Raskite absoliutų rizikos sumažėjimą ARR procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
gydymas: 3/130kontrolė: 29/570
ARR = %
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). 10 000 žmonių tikrinami testu, kurio jautrumas 93 %, o specifiškumas 96 %. Ligos paplitimas yra 13 %. Kiek iš viso teigiamų rezultatų n₊ tikimasi?
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 72 z įvertį z.
μ = 60σ = 8x = 72
z =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 25 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 5,8. Kokia yra tų pačių duomenų 90 % intervalo paklaidos riba E₂?
95%n₁ = 25E₁ = 5,890%
E₂ =
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 18. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?
σ = 18E = 299%
n =
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
10 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −2,84, o skirtumų standartinis nuokrypis 3,9. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = −2,84sd = 3,9
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
81 matavimų imties vidurkis – 118,7. Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 118,7σ = 10n = 8195%
U =
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: ARR = 2,8 %
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Įvykių dažniai
EER = 3/130 = 0,02308
CER = 29/570 = 0,05088
Absoliutus rizikos sumažėjimas
ARR = 0,05088 − 0,02308 = 0,0278 ≈ 2,8%
Atsakymas
ARR = 2,8%
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: n₊ = 1557
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Su liga ir be ligos
10 000·0,13 = 1300
10 000 − 1300 = 8700
Visi teigiami rezultatai
TP = 1300·0,93 = 1209
FP = 8700·0,04 = 348
n₊ = 1209 + 348 = 1557
Atsakymas
n₊ = 1557
Iš 1557 teigiamų tik 1209 serga (PPV 77,6 %).
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,78
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (72 − 60)/8 = 1,5
Atsakymas
z = 1,5
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 4,868
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(25/25) = 0,8393
Nauja paklaidos riba
E₂ = 5,8·0,8393 = 4,868
Atsakymas
E₂ = 4,868
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 538
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·18/2)² = 537,5
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 538
Atsakymas
n = 538
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,303
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 3,9/√10 = 1,233
Testo statistika
t = −2,84/1,233 = −2,303
Atsakymas
t = −2,303
Kai df = 9, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,262; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 120,9
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).