Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Kohortoje žmonių grupės buvo stebimos skirtingą laiką (žr. lentelę: žmonių skaičius ir stebėjimo metai kiekvienai). Stebėjimo metu atsirado 26 naujų atvejų. Raskite sergamumo tankį IR 1000 asmenų metų. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). 10 000 žmonių tikrinami testu, kurio jautrumas 70 %, o specifiškumas 80 %. Ligos paplitimas yra 30 %. Kiek iš viso teigiamų rezultatų n₊ tikimasi?
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
15 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 5,27, o skirtumų standartinis nuokrypis 5,1. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 15d̄ = 5,27sd = 5,1
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
16 matavimų imties vidurkis – 97,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 97,5σ = 10n = 1699%
U =
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: IR = 41,9 1000 asmenų metų
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Asmenų metai
PY = 490·0,5 + 290·0,5 + 460·0,5 = 620
Sergamumo tankis
IR = 26/620·1000 = 41,9 1000 asmenų metų
Atsakymas
IR = 41,9 1000 asmenų metų
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: n₊ = 3500
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Su liga ir be ligos
10 000·0,3 = 3000
10 000 − 3000 = 7000
Visi teigiami rezultatai
TP = 3000·0,7 = 2100
FP = 7000·0,2 = 1400
n₊ = 2100 + 1400 = 3500
Atsakymas
n₊ = 3500
Iš 3500 teigiamų tik 2100 serga (PPV 60 %).
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,32
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Atsakymas
P = 0,9332
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −2,883 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 117 − 118 = −1
Standartinė paklaida
SE = √(9²/100 + 5²/50) = 1,145
Paklaidos riba
E = 1,645·1,145 = 1,883
Intervalas
−1 ± 1,883 → [−2,883, 0,8828]
Atsakymas
apatinis rėžis = −2,883 h
Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 6,151 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (11·8² + 13·10²)/24 = 83,5
sp = 9,138
Paklaidos riba
E = 1,711·9,138·√(1/12 + 1/14) = 6,151
Atsakymas
E = 6,151 kg
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 4,002
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 5,1/√15 = 1,317
Testo statistika
t = 5,27/1,317 = 4,002
Atsakymas
t = 4,002
Kai df = 14, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,145; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 103,9
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).