Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Atsitiktinių imčių tyrime 670 pacientų gavo naują gydymą, o 600 gavo kontrolinį gydymą. Lentelėje parodyta, kiek kiekvienoje grupėje buvo: baigtis (nepageidaujamas įvykis, pavyzdžiui, insultas). Raskite absoliutų rizikos sumažėjimą ARR procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
gydymas: 123/670kontrolė: 138/600
ARR = %
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Paciento prieštestinė ligos tikimybė yra 50 %. Testas, kurio jautrumas 72 %, o specifiškumas 82 %, pasirodo neigiama. Raskite poštestinę ligos tikimybę p′ procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,01?
p = 0,5E = 0,0190%
n =
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 85, standartinis nuokrypis 3,5. 2 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 95,1, standartinis nuokrypis 7,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 6x̄₁ = 85s₁ = 3,5n₂ = 6x̄₂ = 95,1s₂ = 7,5
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 2 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 10. Raskite mažiausią imties dydį n.
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Įvykių dažniai
EER = 123/670 = 0,1836
CER = 138/600 = 0,23
Absoliutus rizikos sumažėjimas
ARR = 0,23 − 0,1836 = 0,04642 ≈ 4,6%
Atsakymas
ARR = 4,6%
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: p′ = 25,5 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikėtinumo santykis
LR− = (1 − 0,72)/0,82 = 0,3415
Prieštestiniai šansai
0,5/(1 − 0,5) = 1
Poštestiniai šansai
1·0,3415 = 0,3415
Poštestinė tikimybė
p′ = 0,3415/(1 + 0,3415) = 0,2545 ≈ 25,5%
Atsakymas
p′ = 25,5%
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 16,38
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,25
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Atsakymas
P = 0,8944
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = −2,557 h
Skirtumo intervalas: įvertis ± kritinė reikšmė × standartinė paklaida. Dviem nepriklausomiems vidurkiams su žinomais σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) ir z. Kai dispersijos lygios ir nežinomos: jungtinis s_p ir t su n₁ + n₂ − 2 laisvės laipsniais. Poriniams duomenims dirbkite su skirtumais: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 84 − 90 = −6
Standartinė paklaida
SE = √(6²/50 + 8²/60) = 1,337
Paklaidos riba
E = 2,576·1,337 = 3,443
Intervalas
−6 ± 3,443 → [−9,443, −2,557]
Atsakymas
viršutinis rėžis = −2,557 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 6766
Dalies pasikliautinasis intervalas: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), kur p̂ = x/n. Kad paklaidos riba būtų E, reikia n ≥ z²·p(1 − p)/E², suapvalinta į didesnę pusę; neturint išankstinio įverčio, naudokite p = 0,5, kuris duoda didžiausią n.
Išreikškite n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,01² = 6765
Apvalinkite aukštyn
n = 6766
Atsakymas
n = 6766
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,989
Hipotezių tikrinimas: testo statistika = (įvertis − reikšmė pagal H₀)/(standartinė paklaida pagal H₀). p reikšmė – tai tikimybė, darant prielaidą, kad H₀ teisinga, gauti statistiką, bent tokią pat kraštutinę kaip stebėtoji: vienos uodegos plotas vienpusei H₁, dvigubas uodegos plotas dvipusei H₁. H₀ atmetama, kai p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (5·3,5² + 5·7,5²)/10 = 34,25
sp = 5,852
Standartinė paklaida
SE = 5,852·√(1/6 + 1/6) = 3,379
Testo statistika
t = (85 − 95,1)/3,379 = −2,989
Atsakymas
t = −2,989
Kai df = 10, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,228; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 251
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.