FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 4 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją R_A, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 4 mAC = 5 mP₁ = 15 kN ties 2,5 mP₂ = 60 kN ties 5 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 5 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 45° kampu į horizontalę, o 1 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite kampą α tarp suminės reakcijos jėgos šarnyre A ir horizontalės.

L = 8 mP = 40 kN ties 5 m, θ = 45°Q = 40 kN ties 1 m

α = °

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 2 mB yra 4 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kN

F_BC = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 40 kN ↓C: 30 kN ↓D: 40 kN ↓F: 25 kN ↓F: 20 kN →

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M₀ = 60 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 2 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x iš karto kairiau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mM₀ = 60 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 2 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 0,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP = 15 kN ties 7 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 3 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 10 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_apačia = MPa

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite porų vandens slėgį u taške X.

z = 4 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 17 kN/m³smėlis: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 20 kN/m³molis: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

4,5 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,4, C_r = 0,05 ir e₀ = 0,6. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 120 kPa , o perkonsolidavimo laipsnis OCR = 3. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 30 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 4,5 mC_c = 0,4C_r = 0,05e₀ = 0,6σ′₀ = 120 kPaOCR = 3Δσ = 30 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

2 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 0,5 m²/metus. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. 50% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,197. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 50% konsolidaciją?

H = 2 mc_v = 0,5 m²/metaiU = 50%T_v = 0,197dvipusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 1,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo 2,6 m/s vidutiniu greičiu teka 400 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 200 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,03 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius h_f.

V = 2,6 m/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

150 m ilgio vamzdis, kurio vidinis skersmuo 100 mm (Darsi trinties koeficientas f = 0,02), išeina iš atviro rezervuaro ir laisva čiurkšle išteka į orą. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 2 alkūnės (K = 0,3 kiekviena) ir sklendė (K = 10). Imkite g = 9,81 m/s². Kiek aukščiau H už vamzdžio galą turi būti rezervuaro paviršius, kad debitas būtų 10 L/s?

Q = 10 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Betoninis lietaus nuotekų kolektorius, kurio vidinis skersmuo 600 mm, teka pusiau pilnas. Manningo n = 0,013, nuolydis S = 0,003. Raskite debitą Q m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,003

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Trapecinis žvyras kanalas, kurio dugno plotis 5 m, o šlaitų nuolydis 2:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 3,6 m³/s tolygiu tekėjimu 0,6 m gylyje. Manningo n = 0,025. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 3,6 m³/sb = 5 my = 0,6 mz = 2n = 0,025

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys tiekia 100 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 24 m slėgio aukštį. Siurblio naudingumo koeficientas 78%, o jį sukančio elektros variklio – 95%. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite variklio naudojamą elektrinę galią P_el kW.

Q = 100 L/sH = 24 mη_pump = 78%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 80 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 5 m aukščiau. Vamzdis yra 500 m ilgio, jo vidinis skersmuo 200 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 5 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Po 2 metų jums reikės €15 000. Sąskaita moka 2 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.

FV = €15 0002% / 4n = 2

PV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

€8 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 3 metus. Palūkanų norma – 3 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.

P = €8 0003% / 12N = 36

A = €

27.NPV ir IRRVidutinis

Mašina šiandien kainuoja €50 000. Kiekvienų metų pabaigoje 6 metų ji generuoja €10 500, o po to gali būti parduota už €5 000. Kapitalo kaina 8%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €50 000CF = €10 500S = €5 000n = 6r = 8%

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €20 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €8 500, €14 000, €11 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 14 000CF₃ = 11 500

IRR = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

dėžės masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 12 kg, standartinis nuokrypis 0,8 kg. Raskite tikimybę P, kad 9 iš jų bendra masė viršija 112,8 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9> 112,8 kg

P =

30.Normalusis skirstinysSunkus

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 85 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.85%

x = tšk.

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = −9,375 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2,5 + 60·5

R_B = 337,5/4 = 84,38 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 15 + 60 − 84,38 = −9,375 kN

Atsakymas

R_A = −9,375 kN

R_A neigiama: šarnyras A turi prilaikyti siją, kad ši nepakiltų.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: α = 58,19 °

P dedamosios

P_v = 40·sin 45° = 28,28 kN

P_h = 40·cos 45° = 28,28 kN

Reakcijos

ΣM_A = 0: R_B·8 = 28,28·5 + 40·1 → R_B = 22,68 kN

A_y = 28,28 + 40 − 22,68 = 45,61 kN

A_x = P_h = 28,28 kN

Kryptis ties A

α = atan(A_y/A_x) = atan(45,61/28,28) = 58,19°

Atsakymas

α = 58,19°

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −53,67 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·4 → C_y = 48 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 48 = 12 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −48/0,8944 = −53,67 kN

Atsakymas

F_BC = −53,67 kN (gniuždymas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas G

FG ir GH yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 88,75 kN (T), BC: 88,75 kN (T), CD: 66,25 kN (T), DE: 66,25 kN (T), FG: 92,5 kN (C), GH: 92,5 kN (C), AF: 97,23 kN (C), HE: 93,69 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 5,303 kN (T), HC: 37,12 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = −15 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: R_B·L − M₀ = 0. Vertikalioji pusiausvyra: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/8 = 7,5 kN (aukštyn)

R_A = −R_B = −7,5 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto kairiau jėgų poros

Kairiojoje dalyje yra tik R_A.

M_x = R_A·a = −7,5·2 = −15 kN·m

Atsakymas

M_x = −15 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 9,375 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·7 + 3·10·5

R_B = 255/10 = 25,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 25,5 = 19,5 kN

Perpjaukite ties x = 0,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 19,5·0,5 − 3·0,5·0,25 = 9,375 kN·m

Atsakymas

M_x = 9,375 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 14,91 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 3000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·1500³/(3·3,96 × 10¹¹) = 8,523 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 6,392 mm

Sudėkite

δ = 8,523 + 6,392 = 14,91 mm

Atsakymas

δ = 14,91 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 41,85 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·5000⁴/(384·70000·13,89) = 4,185 × 10⁷ mm⁴

I_req = 41,85 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 41,85 × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 38,59 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38,59 kN

Atsakymas

P_cr = 38,59 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 100,7 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/10 = 140

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Atsakymas

σ_cr = 100,7 MPa

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 4,706 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

sienelė: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·107,5 + 1600·50)/4300 = 86,1 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 180·15³/12 + 2700·(107,5 − 86,1)² = 1,287 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 16·100³/12 + 1600·(50 − 86,1)² = 3,419 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,287 × 10⁶ + 3,419 × 10⁶ = 4,706 × 10⁶ mm⁴ = 4,706 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 4,706 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 30 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

sienelė: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·270 + 4680·130)/7480 = 182,4 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 140·20³/12 + 2800·(270 − 182,4)² = 2,158 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 18·260³/12 + 4680·(130 − 182,4)² = 3,922 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,158 × 10⁷ + 3,922 × 10⁷ = 6,079 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 182,4 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·182,4/6,079 × 10⁷ = 30 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 30 MPa

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: u = 29,43 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Atsakymas

u = 29,43 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 86,26 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 16,5·3 + 20·2 + 18·2 = 125,5 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 125,5 − 39,24 = 86,26 kPa

Atsakymas

σ′ = 86,26 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 13,63 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Prieškonsolidacinis slėgis

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·120 = 360 kPa

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 120 + 30 = 150 kPa ≤ 360 kPa

Nuosėdis

Molis lieka ant pakartotinio spaudimo tiesės.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·4,5/(1 + 0,6)·log₁₀(150/120) = 13,63 mm

Atsakymas

S = 13,63 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 0,394 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H/2 = 2/2 = 1 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·1²/0,5 = 0,394 metai

Atsakymas

t = 0,394 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 183,9 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·5 = 183,9 kN

Atsakymas

F = 183,9 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 66,22 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3 = 66,22 kN

Atsakymas

F = 66,22 kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: h_f = 20,67 m

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Greitinis aukštis

V²/(2g) = 2,6²/(2·9,81) = 0,3445 m

Darsi–Veisbacho lygtis

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(400/0,2)·2,6²/(2·9,81) = 20,67 m

Atsakymas

h_f = 20,67 m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: H = 3,479 m

Greitis

V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,02·150/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Energijos lygtis

Ištekanti čiurkšlė vis dar turi greitinį aukštį; tai ne nuostolis, bet jį reikia suteikti.

H = (1 + 30 + 11,1)·0,08263 = 3,479 m

Atsakymas

H = 3,479 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 0,1682 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m

Greitis

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,003^1/2 = 1,189 m/s

Debitas

Q = A·V = 0,1414·1,189 = 0,1682 m³/s

Atsakymas

Q = 0,1682 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,00154 m/m

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (5 + 2·0,6)·0,6 = 3,72 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0,6·√(1 + 2²) = 7,683 m

R = A/P = 0,4842 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·3,6/(3,72·0,6166) = 0,03924

S = 0,03924² = 0,00154

Atsakymas

S = 0,00154

Tai 1,54 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_el = 31,77 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·24 = 23,54 kW

Veleno galia

P_shaft = 23,54/0,78 = 30,18 kW

Elektrinė galia

P_el = 30,18/0,95 = 31,77 kW

Atsakymas

P_el = 31,77 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 19,05 m

Greitis

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 5)·0,3305 = 14,05 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai atviri ir praktiškai nejuda, todėl slėgio ir greičio nariai išnyksta.

H = Δz + h_L = 5 + 14,05 = 19,05 m

Atsakymas

H = 19,05 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 14413 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·2 = 8

Dabartinė vertė

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,041 = €14 413,28

Atsakymas

PV = €14 413,28

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: A = 232,6 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·3 = 36

Įmoka

N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.

(1 + i)^−N = 0,914

A = 8 000·0,0025/(1 − 0,914) = €232,65

Atsakymas

A = €232,65

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 1691 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Metinių pinigų srautų dabartinė vertė

10 500·4,623 = 48 540,24

Likvidacinės vertės dabartinė vertė

5 000/1,587 = 3 150,85

NPV

NPV = −50 000 + 48 540,24 + 3 150,85 = €1 691,08

Atsakymas

NPV = €1 691,08

28.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 30,19 %

Apribokite IRR iš abiejų pusių

Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.

NPV(30%) = 56,90

NPV(35%) = −1 347,86

Siaurinkite

Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.

IRR ≈ 30 + 5·56,90/(56,90 − (−1 347,86)) = 30,2%

tiksliai: NPV(30,19%) = 0 → IRR = 30,19%

Atsakymas

IRR = 30,19%

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,02275

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 108 kg, σ_T = 0,8·√9 = 2,4 kg

Standartizuokite

z = (112,8 − 108)/2,4 = 2

Tikimybė

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 84,4 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,15

z iš lentelės

z ≈ −1,04

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 − 1,04·15 = 84,4 tšk.

Atsakymas

x = 84,4 tšk.

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil