FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 6 mP₁ = 15 kN ties 1,5 mP₂ = 50 kN ties 3 m

R_B = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 2,5 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 50° kampu į horizontalę, o 1,5 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą R_A.

L = 4 mP = 75 kN ties 2,5 m, θ = 50°Q = 20 kN ties 1,5 m

R_A = kN

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 2 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 35 kN

F_AC = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 3 mB yra 4 m nuo Avertikalioji apkrova = 45 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN →

F_AB = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

45 kN @ 4 m30 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

10 kN @ 0 m45 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 4 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją R_B.

L = 5 mw = 12 kN/m

R_B = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 120 × 14 mm, sienelė 350 mm aukščio ir 8 mm storio, o apatinė lentyna 240 × 22 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 120 × 14 mmsienelė: 8 × 350 mmapatinė lentyna: 240 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 7,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 17 kN/m³smėlis: γ_sat = 19,5 kN/m³molis: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

6 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,2, C_r = 0,02 ir e₀ = 0,85. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 40 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 70 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 50 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 6 mC_c = 0,2C_r = 0,02e₀ = 0,85σ′₀ = 40 kPaσ′_p = 70 kPaΔσ = 50 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

9,5 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 3 m²/metus. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. 70% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,403. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 70% konsolidaciją?

H = 9,5 mc_v = 3 m²/metaiU = 70%T_v = 0,403dvipusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 1 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 0,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 4 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo (ρ = 1000 kg/m³) teka 2,8 m/s greičiu horizontaliu 400 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 50 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,022 ir g = 9,81 m/s². Raskite slėgio kritimą Δp vamzdyje, kPa.

V = 2,8 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

Du atviri rezervuarai sujungti 200 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 250 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,02. Viršutinio rezervuaro vandens paviršius yra 6 m aukščiau nei žemutinio. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 4 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 0,2) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite debitą Q L/s.

Δz = 6 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Betoninis lietaus nuotekų kolektorius, kurio vidinis skersmuo 750 mm, teka pusiau pilnas. Manningo n = 0,013, nuolydis S = 0,002. Raskite debitą Q m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Trapecinis žvyras kanalas, kurio dugno plotis 3 m, o šlaitų nuolydis 1:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 15 m³/s tolygiu tekėjimu 2,1 m gylyje. Manningo n = 0,025. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 15 m³/sb = 3 my = 2,1 mz = 1n = 0,025

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Bandymo metu siurblys tiekia 25 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 46 m slėgio aukštį, o jo velenas naudoja 16,1 kW. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siurblio naudingumo koeficientą η procentais.

Q = 25 L/sH = 46 mP_shaft = 16,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 75 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 7 m aukščiau. Vamzdis yra 150 m ilgio, jo vidinis skersmuo 250 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,022; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 5 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 75 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 5

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 22% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.

r = 22%m = 12

EAR = %

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Kiekvieno mėnesio pabaigoje 9 metus atidedate €250. Sąskaita moka 6 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.

A = €2506% / 12N = 108

FV = €

27.NPV ir IRRVidutinis

Projektas šiandien kainuoja €20 000 ir kiekvienų metų pabaigoje 5 metų grąžina €5 500. Kapitalo kaina 5 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 500CF₃ = 5 500CF₄ = 5 500CF₅ = 5 500

DPB = metai

28.NPV ir IRRSunkus

€10 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 7 metų grąžina €3 000. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.

C₀ = €10 000CF = €3 000n = 7

IRR = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 488 ir 508 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x₁ = 488x₂ = 508

P =

30.Normalusis skirstinysSunkus

egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 80 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.80%

x = tšk.

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 28,75 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·1,5 + 50·3

R_B = 172,5/6 = 28,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 28,75 = 36,25 kN

Atsakymas

R_B = 28,75 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 59,02 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

P_v = 75·sin 50° = 57,45 kN

P_h = 75·cos 50° = 48,21 kN

Reakcijos

ΣM_A = 0: R_B·4 = 57,45·2,5 + 20·1,5 → R_B = 43,41 kN

A_y = 57,45 + 20 − 43,41 = 34,04 kN

A_x = P_h = 48,21 kN

Atstojamoji ties A

R_A = √(48,21² + 34,04²) = 59,02 kN

Atsakymas

R_A = 59,02 kN

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 13,13 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26,25 = 8,75 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26,25/0,8944 = −29,35 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−29,35)·0,4472 = 13,13 kN

Atsakymas

F_AC = 13,13 kN (tempimas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −12,5 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·4 + 15·3 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 37,5 = 7,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −7,5/0,6 = −12,5 kN

Atsakymas

F_AB = −12,5 kN (gniuždymas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: C (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 35 kN, R₂ = 40 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 70, M_C = 140 kN·m, M_D = 120, M_E = 100, M_F = 80, M_G = 0

Atsakymas

Žymė C: M_C = 140 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: F (x = 10 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 1,25 kN, R₂ = 53,75 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −37,5, M_D = −55, M_E = −72,5, M_F = −90 kN·m, M_G = 0

Atsakymas

Žymė F: M_F = −90 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 2,988 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 4000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·2000²·1000²/(3·5,95 × 10¹¹·3000) = 2,988 mm

Atsakymas

δ_P = 2,988 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: R_B = 22,5 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·5/8 = 22,5 kN

Atsakymas

R_B = 22,5 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 34,33 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1050² = 34331 N = 34,33 kN

Atsakymas

P_cr = 34,33 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 17,77 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/15 = 333,3

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Atsakymas

σ_cr = 17,77 MPa

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 23,78 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

sienelė: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·172,5 + 3200·80)/8200 = 136,4 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 200·25³/12 + 5000·(172,5 − 136,4)² = 6,776 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 20·160³/12 + 3200·(80 − 136,4)² = 1,701 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,776 × 10⁶ + 1,701 × 10⁷ = 2,378 × 10⁷ mm⁴ = 23,78 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 23,78 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 220,3 × 10⁶ mm⁴

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 1680 mm², y = 379 mm

sienelė: A = 2800 mm², y = 197 mm

apatinė lentyna: A = 5280 mm², y = 11 mm

Svorio centras

ȳ = (1680·379 + 2800·197 + 5280·11)/9760 = 127,7 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 120·14³/12 + 1680·251,3² = 1,061 × 10⁸ mm⁴

sienelė: 8·350³/12 + 2800·69,3² = 4,203 × 10⁷ mm⁴

apatinė lentyna: 240·22³/12 + 5280·116,7² = 7,213 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,061 × 10⁸ + 4,203 × 10⁷ + 7,213 × 10⁷

I_x = 2,203 × 10⁸ mm⁴ = 220,3 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 220,3 × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 61,57 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·2 + 20·3 = 91 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 91 − 29,43 = 61,57 kPa

Atsakymas

σ′ = 61,57 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 89,35 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 17·3 + 19,5·1 + 18·3,5 = 133,5 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 133,5 − 44,15 = 89,35 kPa

Atsakymas

σ′ = 89,35 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 86,56 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 40 + 50 = 90 kPa > 70 kPa

Nuosėdis

Pakartotinis spaudimas iki σ′_p, pirminis spaudimas už jo.

S = 0,02·6/(1 + 0,85)·log₁₀(70/40) + 0,2·6/(1 + 0,85)·log₁₀(90/70)

S = 15,76 + 70,8 = 86,56 mm

Atsakymas

S = 86,56 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 3,031 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H/2 = 9,5/2 = 4,75 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·4,75²/3 = 3,031 metai

Atsakymas

t = 3,031 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 29,43 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·2 = 29,43 kN

Atsakymas

F = 29,43 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 5,067 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·4 = 196,2 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5 + 1,333/(5·4) = 5,067 m

Atsakymas

y_cp = 5,067 m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δp = 689,9 kPa

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Slėgio aukščio nuostoliai

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(400/0,05)·2,8²/(2·9,81) = 70,33 m

Slėgio kritimas

Vamzdis horizontalus, o greitis nekinta, todėl energijos lygtis supaprastėja iki Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·70,33 = 689920 Pa = 689,9 kPa

Atsakymas

Δp = 689,9 kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Q = 122,5 L/s

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Energijos lygtis

Abu paviršiai atviri orui ir praktiškai nejuda, todėl visas Δz prarandamas vamzdyje.

6 = (16 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·6/18,9) = 2,496 m/s

Debitas

Q = V·π·D²/4 = 2,496·0,04909 = 0,1225 m³/s = 122,5 L/s

Atsakymas

Q = 122,5 L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 0,2489 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = 0,2209 m², R = D/4 = 0,1875 m

Greitis

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,002^1/2 = 1,127 m/s

Debitas

Q = A·V = 0,2209·1,127 = 0,2489 m³/s

Atsakymas

Q = 0,2489 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,0009635 m/m

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·2,1)·2,1 = 10,71 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2,1·√(1 + 1²) = 8,94 m

R = A/P = 1,198 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·15/(10,71·1,128) = 0,03104

S = 0,03104² = 0,0009635

Atsakymas

S = 0,0009635

Tai 0,9635 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: η = 70,07 %

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·46 = 11,28 kW

Naudingumo koeficientas

η = P_h/P_shaft = 11,28/16,1 = 70,07%

Atsakymas

η = 70,07%

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 9,165 m

Greitis

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,2 + 5)·0,119 = 2,165 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai atviri ir praktiškai nejuda, todėl slėgio ir greičio nariai išnyksta.

H = Δz + h_L = 7 + 2,165 = 9,165 m

Atsakymas

H = 9,165 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: EAR = 24,36 %

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Laikotarpio norma

r/m = 0,22/12 = 0,01833

Kapitalizuokite per vienus metus

EAR = (1 + 0,01833)¹² − 1 = 1,244 − 1 = 24,36%

Atsakymas

EAR = 24,36%

Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 35685 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·9 = 108

Įmokų būsimoji vertė

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,714 − 1)/0,005 = €35 684,97

Atsakymas

FV = €35 684,97

Patys įnešėte €27 000; likusi dalis – palūkanos.

27.NPV ir IRR

Atsakymas: DPB = 4,115 metai

Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.

Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai

metai 1: 5 500/1,05 = 5 238,10 → Σ = 5 238,10

metai 2: 5 500/1,103 = 4 988,66 → Σ = 10 226,76

metai 3: 5 500/1,158 = 4 751,11 → Σ = 14 977,86

metai 4: 5 500/1,216 = 4 524,86 → Σ = 19 502,73

metai 5: 5 500/1,276 = 4 309,39 → Σ = 23 812,12

Paskutiniųjų metų dalis

DPB = 4 + 497,27/4 309,39 = 4,115

Atsakymas

DPB = 4,115 metai

Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3,636 metų).

28.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 22,93 %

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Reikiamas anuiteto koeficientas

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 10 000/3 000 = 3,333

Raskite normą

Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.

i = 22%: 3,416

i = 23%: 3,327

IRR = 22,93%

Atsakymas

IRR = 22,93%

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1972

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Plotas tarp

P = Φ(0,2) − Φ(−0,3) = 0,5793 − 0,3821 = 0,1972

Atsakymas

P = 0,1972

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 56,6 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,2

z iš lentelės

z ≈ −0,84

Atgal į pradinius vienetus

x = 65 − 0,84·10 = 56,6 tšk.

Atsakymas

x = 56,6 tšk.

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil