FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, mažėjanti nuo 12 kN/m ties A iki nulio ties B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 8 mw₀ = 12 kN/m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 6 mP = 45 kN ties 2 mw = 12 kN/m nuo 4 iki 5 m

R_B = kN

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 2 mB yra 4 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kN

F_AC = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 4 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kNhorizontalioji apkrova = 25 kN ←

F_AB = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

25 kN @ 2 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

30 kN @ 0 m50 kN @ 6 m60 kN @ 4 m8 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 14 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją R_B.

L = 4 mw = 10 kN/m

R_B = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 105 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 105 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

100 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 60 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmskylės centras: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

150 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 40 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 120 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 300 mmiškirpimas: 40 × 20 mmskylės centras: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 17 kN/m³smėlis: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 8,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16 kN/m³smėlis: γ_sat = 19,5 kN/m³molis: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

2 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,35, C_r = 0,03 ir e₀ = 1,2. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 50 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 170 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 35 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 2 mC_c = 0,35C_r = 0,03e₀ = 1,2σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 35 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

8,5 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 2 m²/metus. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. 60% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,287. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 60% konsolidaciją?

H = 8,5 mc_v = 2 m²/metaiU = 60%T_v = 0,287dvipusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 3 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (glicerinas) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 2 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo 2,4 m/s vidutiniu greičiu teka 200 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 150 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,018 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius h_f.

V = 2,4 m/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

Du atviri rezervuarai sujungti 200 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 300 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,018. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 4 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 5) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Koks vandens lygių skirtumas Δz tarp rezervuarų užtikrina 150 L/s debitą?

Q = 150 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Trapecinio nelygintas betonas kanalo dugno plotis 1,5 m, o šlaitų nuolydis 3:1 (horizontalusis:vertikalusis). Vanduo teka tolygiai 1,3 m gylyje. Manningo n = 0,014, dugno nuolydis S = 0,0015. Raskite debitą Q m³/s.

b = 1,5 my = 1,3 mz = 3n = 0,014S = 0,0015

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Stačiakampis švarus gruntas kanalas, kurio plotis 3 m, turi praleisti 10 m³/s tolygiu tekėjimu 2,1 m gylyje. Manningo n = 0,022. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 10 m³/sb = 3 my = 2,1 mn = 0,022

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys, kurio naudingumo koeficientas 80%, tiekia 15 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 46 m slėgio aukštį. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite reikiamą veleno galią P_shaft kW.

Q = 15 L/sH = 46 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 80 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 21 m aukščiau. Vamzdis yra 150 m ilgio, jo vidinis skersmuo 200 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,025; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 6 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 80 L/sΔz = 21 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Investuojate €5 000 esant 8% metinei normai su tolydžiuoju kapitalizavimu. Raskite vertę FV po 7 metų.

PV = €5 000r = 8%t = 7

FV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

€12 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 3 metus. Palūkanų norma – 4,8 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.

P = €12 0004,8% / 12N = 36

A = €

27.NPV ir IRRVidutinis

Projektas šiandien kainuoja €500 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €44 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 1% per metus. Kapitalo kaina 9%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €44 000g = 1%r = 9%

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

€40 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 4 metų grąžina €11 500. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.

C₀ = €40 000CF = €11 500n = 4

IRR = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9127. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9127

z =

30.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 95 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g95%

x = g

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 32 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·12·8 = 48 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 48·2,667

R_B = 16 kN

R_A = 48 − 16 = 32 kN

Atsakymas

R_A = 32 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 24 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2 + 12·1·4,5

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 24 = 33 kN

Atsakymas

R_B = 24 kN

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 10 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 20 = 5 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0,8944 = −22,36 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,36)·0,4472 = 10 kN

Atsakymas

F_AC = 10 kN (tempimas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −39,06 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 − 25·4 → C_y = −6,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −6,25 = 31,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −31,25/0,8 = −39,06 kN

Atsakymas

F_AB = −39,06 kN (gniuždymas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: C (x = 2 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 34,67 kN, R₂ = 26,33 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 31,67, M_C = 57,33 kN·m, M_D = 52, M_E = 40,67, M_F = 23,33, M_G = 0

Atsakymas

Žymė C: M_C = 57,33 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: F (x = 5 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 56 kN, R₂ = 116 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −8, M_D = 6, M_E = 12, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

Atsakymas

Žymė F: M_F = −50 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 7,407 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 14000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·2000²·1000²/(3·8,4 × 10¹¹·3000) = 7,407 mm

Atsakymas

δ_P = 7,407 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: R_B = 15 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·4/8 = 15 kN

Atsakymas

R_B = 15 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 27,56 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27,56 kN

Atsakymas

P_cr = 27,56 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 42,9 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 42,9 mm

Atsakymas

d = 42,9 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 116,6, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 60,76 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (20000·100 − 2827·60)/(20000 − 2827) = 106,6 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

100·200³/12 + 20000·−6,586² = 67,53 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·60⁴/64 + 2827·−46,59² = 6,772 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 60,76 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 60,76 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 336,7 × 10⁶ mm⁴

Svorio centras

ȳ = (45000·150 − 800·120)/(45000 − 800) = 150,5 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·300³/12 + 45000·−0,543² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

40·20³/12 + 800·−30,54² = 0,773 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 336,7 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 336,7 × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 60,19 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·3 + 19·1 = 70 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 70 − 9,81 = 60,19 kPa

Atsakymas

σ′ = 60,19 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 89,98 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16·2 + 19,5·4 + 17,5·2,5 = 153,8 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6,5 = 63,77 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 153,8 − 63,77 = 89,98 kPa

Atsakymas

σ′ = 89,98 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 6,285 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 50 + 35 = 85 kPa ≤ 170 kPa

Nuosėdis

Molis lieka ant pakartotinio spaudimo tiesės.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·2/(1 + 1,2)·log₁₀(85/50) = 6,285 mm

Atsakymas

S = 6,285 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 2,592 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H/2 = 8,5/2 = 4,25 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·4,25²/2 = 2,592 metai

Atsakymas

t = 2,592 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 143,5 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN

Atsakymas

F = 143,5 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 2,818 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,75·3 = 102 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 0,5625/(2,75·3) = 2,818 m

Atsakymas

y_cp = 2,818 m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: h_f = 7,046 m

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Greitinis aukštis

V²/(2g) = 2,4²/(2·9,81) = 0,2936 m

Darsi–Veisbacho lygtis

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,15)·2,4²/(2·9,81) = 7,046 m

Atsakymas

h_f = 7,046 m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δz = 4,522 m

Greitis

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,018·200/0,3 = 12

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Bendri slėgio aukščio nuostoliai

h_f = 12·0,2295 = 2,754 m

h_m = 7,7·0,2295 = 1,767 m

Δz = h_f + h_m = 4,522 m

Atsakymas

Δz = 4,522 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 15,63 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 3·1,3)·1,3 = 7,02 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,3·√(1 + 3²) = 9,722 m

R = A/P = 0,7221 m

Greitis

V = (1/0,014)·0,7221^2/3·0,0015^1/2 = 2,227 m/s

Debitas

Q = A·V = 7,02·2,227 = 15,63 m³/s

Atsakymas

Q = 15,63 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,001457 m/m

Geometrija

A = b·y = 3·2,1 = 6,3 m²

P = b + 2y = 3 + 2·2,1 = 7,2 m

R = A/P = 0,875 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·10/(6,3·0,9148) = 0,03817

S = 0,03817² = 0,001457

Atsakymas

S = 0,001457

Tai 1,457 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 8,461 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·46 = 6,769 kW

Veleno galia

P_shaft = P_h/η = 6,769/0,8 = 8,461 kW

Atsakymas

P_shaft = 8,461 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 29,18 m

Greitis

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18,75 + 6)·0,3305 = 8,18 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai atviri ir praktiškai nejuda, todėl slėgio ir greičio nariai išnyksta.

H = Δz + h_L = 21 + 8,18 = 29,18 m

Atsakymas

H = 29,18 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 8753 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Laipsnio rodiklis

r·t = 0,08·7 = 0,56

e^0,56 = 1,751

Būsimoji vertė

FV = 5 000·1,751 = €8 753,36

Atsakymas

FV = €8 753,36

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: A = 358,6 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·3 = 36

Įmoka

N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.

(1 + i)^−N = 0,8661

A = 12 000·0,004/(1 − 0,8661) = €358,57

Atsakymas

A = €358,57

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 50000 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Pinigų srautų vertė

PV = 44 000/(0,09 − 0,01) = 550 000,00

NPV

NPV = 550 000,00 − 500 000 = €50 000,00

Atsakymas

NPV = €50 000,00

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

28.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 5,835 %

Reikiamas anuiteto koeficientas

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 40 000/11 500 = 3,478

Raskite normą

Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.

i = 5%: 3,546

i = 6%: 3,465

IRR = 5,835%

Atsakymas

IRR = 5,835%

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,71

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9127)/2 = 0,9564

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9564 ir nuskaitykite z.

z = 1,71

Atsakymas

z = 1,71

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 241,8 g

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,05

z iš lentelės

z ≈ −1,64

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g

Atsakymas

x = 241,8 g

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil