FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, mažėjanti nuo 6 kN/m ties A iki nulio ties B. 2 m atstumu nuo A dar veikia sutelktoji jėga P. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 4 mw₀ = 6 kN/mP = 50 kN ties 2 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 5 mP = 50 kN ties 2 mw = 4 kN/m nuo 3 iki 5 m

R_B = kN

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 3 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kN

F_AB = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

C: 40 kN ↓D: 25 kN ↓F: 35 kN →G: 40 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 8 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 40 kN ties 3,5 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θ_A ties atrama A, radianais.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 1,5 m atstumu nuo atramos B. Raskite didžiausią sijos įlinkį δ_max.

P = 10 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 65 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 65 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

150 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 40 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 105 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmskylės centras: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 30 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_apačia = MPa

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 10 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15 kN/m³smėlis: γ_sat = 20 kN/m³molis: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

7 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,3, C_r = 0,04 ir e₀ = 0,65. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 40 kPa , o perkonsolidavimo laipsnis OCR = 3. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 60 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 7 mC_c = 0,3C_r = 0,04e₀ = 0,65σ′₀ = 40 kPaOCR = 3Δσ = 60 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

Laboratoriniame odometriniame bandyme 19 mm storio molio bandinys, drenuojamas viršuje ir apačioje, 50% konsolidaciją pasiekia per 5 min. Natūroje tas pats molis sudaro 2,5 m storio sluoksnį. Jis slūgso ant nelaidžios uolienos, virš jo – smėlis, todėl vanduo išteka tik viršuje. Per kiek dienų t natūrinis sluoksnis pasieks 50% konsolidaciją?

h_lab = 19 mmt_lab = 5 minH = 2,5 mnatūroje: vienpusis drenavimas

t = dienos

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 3 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 0,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 3 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo (ρ = 1000 kg/m³) teka 2,5 m/s greičiu horizontaliu 300 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 100 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,015 ir g = 9,81 m/s². Raskite slėgio kritimą Δp vamzdyje, kPa.

V = 2,5 m/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

100 m ilgio vamzdis, kurio vidinis skersmuo 250 mm (Darsi trinties koeficientas f = 0,018), išeina iš atviro rezervuaro ir laisva čiurkšle išteka į orą. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 3 alkūnės (K = 0,3 kiekviena) ir sklendė (K = 2). Imkite g = 9,81 m/s². Kiek aukščiau H už vamzdžio galą turi būti rezervuaro paviršius, kad debitas būtų 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Trapecinio plytų mūras kanalo dugno plotis 5,5 m, o šlaitų nuolydis 3:1 (horizontalusis:vertikalusis). Vanduo teka tolygiai 1,6 m gylyje. Manningo n = 0,015, dugno nuolydis S = 0,002. Raskite debitą Q m³/s.

b = 5,5 my = 1,6 mz = 3n = 0,015S = 0,002

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Betoninis nuotekų kolektorius, kurio vidinis skersmuo 300 mm (Manningo n = 0,013), tekėdamas vos pilnas turi pasiekti 0,75 m/s savaiminio išsivalymo greitį. Raskite mažiausią nuolydį S (m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys tiekia 40 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 30 m slėgio aukštį. Siurblio naudingumo koeficientas 85%, o jį sukančio elektros variklio – 95%. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite variklio naudojamą elektrinę galią P_el kW.

Q = 40 L/sH = 30 mη_pump = 85%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 120 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 9 m aukščiau. Vamzdis yra 300 m ilgio, jo vidinis skersmuo 250 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 8 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 120 L/sΔz = 9 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €8 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 2,5% per metus. Reikalaujama grąža 5,5% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.

C₁ = €8 000g = 2,5%r = 5,5%

PV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Kiekvieno mėnesio pabaigoje 29 metus atidedate €250. Sąskaita moka 5,4 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.

A = €2505,4% / 12N = 348

FV = €

27.NPV ir IRRVidutinis

€60 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €21 000, €29 000, €20 000, €17 000. Kapitalo kaina – 15 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 15%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 29 000CF₃ = 20 000CF₄ = 17 000

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas A kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €5 500, €4 000, €2 500. Projektas B kainuoja €12 000 ir grąžina po €3 000, €5 000, €7 000. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −12 000, 3 000, 5 000, 7 000

r* = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 16 iš jų bendra masė viršija 637,6 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 16> 637,6 g

P =

30.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 99 % reikšmių (99-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 33 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·1,333 + 50·2

R_B = 29 kN

R_A = 62 − 29 = 33 kN

Atsakymas

R_A = 33 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 26,4 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2 + 4·2·4

R_B = 132/5 = 26,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 26,4 = 31,6 kN

Atsakymas

R_B = 26,4 kN

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −54,08 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 15 = 45 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −45/0,8321 = −54,08 kN

Atsakymas

F_AB = −54,08 kN (gniuždymas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas BF

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas B

AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 72,5 kN (T), BC: 72,5 kN (T), CD: 67,5 kN (T), DE: 67,5 kN (T), FG: 110 kN (C), GH: 110 kN (C), AF: 53,03 kN (C), HE: 95,46 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 53,03 kN (T), HC: 60,1 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: BF

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 8 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 68 kN, R₂ = 88 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 120, M_C = 208, M_D = 264, M_E = 288 kN·m, M_F = 160, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = 288 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 36 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3,5 + 12·5·2,5

R_B = 290/5 = 58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 58 = 42 kN

Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 42·1 − 12·1·0,5 = 36 kN·m

Atsakymas

M_x = 36 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: θ_A = 0,003628 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Galo posūkio kampas

θ_A = wL³/(24EI) = 8·4000³/(24·5,88 × 10¹²) = 0,003628 rad

Atsakymas

θ_A = 0,003628 rad

Tai yra 0,2079°.

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 12,28 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 10000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Maksimumo vieta

Prilyginus ilgesniojo ruožo posūkio kampą nuliui, gaunama vieta.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Didžiausias įlinkis

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 12,28 mm

Atsakymas

δ_max = 12,28 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 365,5 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/750² = 365541 N = 365,5 kN

Atsakymas

P_cr = 365,5 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 46,13 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·65000 = 195000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 46,13 mm

Atsakymas

d = 46,13 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 130,1, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (22500·75 − 1257·105)/(22500 − 1257) = 73,23 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·150³/12 + 22500·1,775² = 42,26 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·40⁴/64 + 1257·31,77² = 1,394 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 93,97 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

sienelė: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·267,5 + 5200·130)/6700 = 160,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·15³/12 + 1500·(267,5 − 160,8)² = 1,711 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 20·260³/12 + 5200·(130 − 160,8)² = 3,422 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,711 × 10⁷ + 3,422 × 10⁷ = 5,133 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 160,8 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·160,8/5,133 × 10⁷ = 93,97 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 93,97 MPa

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 99,21 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·1 + 19·9 = 187,5 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·9 = 88,29 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 187,5 − 88,29 = 99,21 kPa

Atsakymas

σ′ = 99,21 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 79,76 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 15·3 + 20·1 + 18·3 = 119 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 119 − 39,24 = 79,76 kPa

Atsakymas

σ′ = 79,76 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 67,53 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Prieškonsolidacinis slėgis

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·40 = 120 kPa

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 40 + 60 = 100 kPa ≤ 120 kPa

Nuosėdis

Molis lieka ant pakartotinio spaudimo tiesės.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·7/(1 + 0,65)·log₁₀(100/40) = 67,53 mm

Atsakymas

S = 67,53 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 240,5 dienos

Drenavimo keliai

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 2,5 m

Perskaičiuokite laiką

t = T_v·H_dr²/c_v, kai T_v ir c_v laboratorijoje ir natūroje vienodi.

t_field = 5·(2,5/0,0095)² = 346260 min

t_field = 346260/1440 = 240,5 dienos

Atsakymas

t = 240,5 dienos

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 176,6 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN

Atsakymas

F = 176,6 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 3,714 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 6,75/(3,5·9) = 3,714 m

Atsakymas

y_cp = 3,714 m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δp = 140,6 kPa

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Slėgio aukščio nuostoliai

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,1)·2,5²/(2·9,81) = 14,33 m

Slėgio kritimas

Vamzdis horizontalus, o greitis nekinta, todėl energijos lygtis supaprastėja iki Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·14,33 = 140625 Pa = 140,6 kPa

Atsakymas

Δp = 140,6 kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: H = 0,6134 m

Greitis

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Energijos lygtis

Ištekanti čiurkšlė vis dar turi greitinį aukštį; tai ne nuostolis, bet jį reikia suteikti.

H = (1 + 7,2 + 3,4)·0,05288 = 0,6134 m

Atsakymas

H = 0,6134 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 50,92 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 3·1,6)·1,6 = 16,48 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,6·√(1 + 3²) = 15,62 m

R = A/P = 1,055 m

Greitis

V = (1/0,015)·1,055^2/3·0,002^1/2 = 3,09 m/s

Debitas

Q = A·V = 16,48·3,09 = 50,92 m³/s

Atsakymas

Q = 50,92 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,003006 m/m

Hidraulinis spindulys

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,1778)² = 0,003006

Atsakymas

S = 0,003006

Tai 3,006 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_el = 14,58 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·30 = 11,77 kW

Veleno galia

P_shaft = 11,77/0,85 = 13,85 kW

Elektrinė galia

P_el = 13,85/0,95 = 14,58 kW

Atsakymas

P_el = 14,58 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 16,92 m

Greitis

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 8)·0,3046 = 7,919 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai atviri ir praktiškai nejuda, todėl slėgio ir greičio nariai išnyksta.

H = Δz + h_L = 9 + 7,919 = 16,92 m

Atsakymas

H = 16,92 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 266667 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Auganti amžinoji renta

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,055 − 0,025) = 8 000/0,03 = €266 666,67

Atsakymas

PV = €266 666,67

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 209482 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·29 = 348

Įmokų būsimoji vertė

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(4,771 − 1)/0,0045 = €209 481,74

Atsakymas

FV = €209 481,74

Patys įnešėte €87 000; likusi dalis – palūkanos.

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 3059 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 21 000/1,15 = 18 260,87

CF₂/(1 + 0,15)² = 29 000/1,322 = 21 928,17

CF₃/(1 + 0,15)³ = 20 000/1,521 = 13 150,32

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 17 000/1,749 = 9 719,81

Sudėkite

NPV = €3 059,17

Atsakymas

NPV = €3 059,17

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

28.NPV ir IRR

Atsakymas: r* = 9,256 %

Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.

Pinigų srautų skirtumas

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 5 500 = −2 500

ΔCF₂ = 5 000 − 4 000 = 1 000

ΔCF₃ = 7 000 − 2 500 = 4 500

Skirtumo IRR

NPV_Δ(9%) = 22,93

NPV_Δ(10%) = −65,36

r* = 9,256%

Atsakymas

r* = 9,256%

Patikra: esant 9,256%, abi NPV lygios €301,94.

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6915

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 640 g, σ_T = 1,2·√16 = 4,8 g

Standartizuokite

z = (637,6 − 640)/4,8 = −0,5

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 593,1 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Atgal į x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Atsakymas

x = 593,05 h

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil