FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 10 mP₁ = 55 kN ties 5 mP₂ = 15 kN ties 6 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (4 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (10 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 7 m atstumu nuo A, tolygiai išskirstyta apkrova w visoje dalyje CD ir sutelktoji jėga Q, esanti 3 m atstumu nuo A. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

AC = 4 mAD = 10 mP = 30 kN ties 7 mw = 2 kN/m nuo 4 iki 10 mQ = 55 kN ties 3 m

M_A = kN·m

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kN

F_BC = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 55 kNhorizontalioji apkrova = 5 kN ←

F_AB = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 6,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 6,5 m

V_x = kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 6 mP = 80 kN ties 5 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 6 m

M_max = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 75 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/300. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 75 mm

h_req = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 115 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 115 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 140 mm pločio ir 14 mm storio, bendrasis aukštis 220 mm, o sienelės storis 12 mm. Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios centrinės ašies x atžvilgiu.

B = 140 mmH = 220 mmt_f = 14 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 60 MPa tempiant ir 150 MPa gniuždant. Raskite didžiausią neigiamą lenkimo momentą M_allow, kurį sija gali atlaikyti (nurodykite jo didumą).

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 17 kN/m³smėlis: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite porų vandens slėgį u taške X.

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 19 kN/m³molis: γ_sat = 17,5 kN/m³

u = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

3 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,5, C_r = 0,03 ir e₀ = 0,95. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 40 kPa , o perkonsolidavimo laipsnis OCR = 2,5. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 110 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 3 mC_c = 0,5C_r = 0,03e₀ = 0,95σ′₀ = 40 kPaOCR = 2,5Δσ = 110 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

2 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 1,5 m²/metus. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. 70% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,403. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 70% konsolidaciją?

H = 2 mc_v = 1,5 m²/metaiU = 70%T_v = 0,403dvipusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 3 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 1 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 3 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (glicerinas) sienoje, jos viršutinis kraštas 4 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo (ρ = 1000 kg/m³) teka 1,5 m/s greičiu horizontaliu 300 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 100 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,018 ir g = 9,81 m/s². Raskite slėgio kritimą Δp vamzdyje, kPa.

V = 1,5 m/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

Du atviri rezervuarai sujungti 100 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 150 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015. Viršutinio rezervuaro vandens paviršius yra 25 m aukščiau nei žemutinio. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 3 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 10) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite debitą Q L/s.

Δz = 25 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Betoninis lietaus nuotekų kolektorius, kurio vidinis skersmuo 750 mm, teka pusiau pilnas. Manningo n = 0,013, nuolydis S = 0,002. Raskite debitą Q m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Trapecinis plytų mūras kanalas, kurio dugno plotis 3,5 m, o šlaitų nuolydis 1:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 3,9 m³/s tolygiu tekėjimu 0,6 m gylyje. Manningo n = 0,015. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 3,9 m³/sb = 3,5 my = 0,6 mz = 1n = 0,015

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys tiekia 50 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 38 m slėgio aukštį. Siurblio naudingumo koeficientas 85%, o jį sukančio elektros variklio – 88%. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite variklio naudojamą elektrinę galią P_el kW.

Q = 50 L/sH = 38 mη_pump = 85%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 20 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 18 m aukščiau. Vamzdis yra 300 m ilgio, jo vidinis skersmuo 100 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,02; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 8 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Viršutinis bakas uždaras, o oro virš vandens manometrinis slėgis yra 250 kPa. Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 20 L/sΔz = 18 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 250 kPa

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Investuojate €3 000 esant 5 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 2 metų.

PV = €3 0005% / 4n = 2

FV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Pasiskolinate €10 000 esant 4,2 % metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį, ir kiekvieno mėnesio pabaigoje grąžinate €450. Per kiek mėnesių paskola bus grąžinta (paskutinė įmoka gali būti mažesnė)? Nurodykite įmokų skaičių N.

P = €10 000A = €4504,2% / 12

N = įmokos

27.NPV ir IRRVidutinis

Projektas šiandien kainuoja €50 000 ir 1–6 metų pabaigoje grąžina po €20 000, €12 000, €14 500, €19 500, €13 500, €11 500. Kapitalo kaina 10 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 20 000CF₂ = 12 000CF₃ = 14 500CF₄ = 19 500CF₅ = 13 500CF₆ = 11 500

DPB = metai

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €12 000, €11 500, €15 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.

CF₀ = −25 000CF₁ = 12 000CF₂ = 11 500CF₃ = 15 000

IRR = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,6970. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,6970

z =

30.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 33,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·5 + 15·6

R_B = 365/10 = 36,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 36,5 = 33,5 kN

Atsakymas

R_A = 33,5 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 249 kN·m

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.

Dalis CD

Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.

W = 2·6 = 12 kN ties 3 m nuo C

ΣM_C = 0: R_D·6 = 30·3 + 12·3

R_D = 21 kN

V_C = 42 − 21 = 21 kN

Dalis AC

Šarnyro jėga V_C dalį AC veikia žemyn (lygi ir priešinga jos poveikiui daliai CD).

R_A = 55 + 21 = 76 kN

M_A = 55·3 + 21·4 = 249 kN·m

Atsakymas

M_A = 249 kN·m

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −18,63 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·5 → C_y = 16,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 16,67 = 3,333 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16,67/0,8944 = −18,63 kN

Atsakymas

F_BC = −18,63 kN (gniuždymas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −49,54 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·1 − 5·3 → C_y = 8 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 8 = 47 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −47/0,9487 = −49,54 kN

Atsakymas

F_AB = −49,54 kN (gniuždymas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = −15 kN

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Perpjaukite ties x = 6,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 50 − 10·6,5 = −15 kN

Atsakymas

V_x = −15 kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 101,4 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 80·5 + 12·6·3

R_B = 616/6 = 102,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 152 − 102,7 = 49,33 kN

Kur V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 49,33/12 = 4,111 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 49,33·4,111 − 12·4,111²/2 = 101,4 kN·m

Atsakymas

M_max = 101,4 kN·m

Tai yra taške x = 4,111 m nuo A.

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 41,61 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 41,61 mm

Atsakymas

δ = 41,61 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 194,1 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·11,67) = 4,568 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·4,568 × 10⁷/75)^1/3 = 194,1 mm

Atsakymas

h_req = 194,1 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 322,3 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1400² = 322273 N = 322,3 kN

Atsakymas

P_cr = 322,3 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 55,51 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·115000 = 230000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 55,51 mm

Atsakymas

d = 55,51 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 144,1, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 48,73 × 10⁶ mm⁴

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 220 − 2·14 = 192 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·220³ − 128·192³)/12

I_x = 4,873 × 10⁷ mm⁴ = 48,73 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 48,73 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: M_allow = 15,15 kN·m

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Svorio centras

ȳ = (3300·147,5 + 2240·70)/5540 = 116,2 mm

viršutinė kraštinė: c = 155 − 116,2 = 38,84 mm

Inercijos momentas

I = 220·15³/12 + 3300·31,34² + 16·140³/12 + 2240·46,16² = 1,173 × 10⁷ mm⁴

Kiekvienos kraštinės leidžiamas momentas

Neigiamas lenkimas: viršus tempiamas, apačia gniuždoma.

viršutinė kraštinė: M = 60·1,173 × 10⁷/38,84 = 18,13 kN·m

apatinė kraštinė: M = 150·1,173 × 10⁷/116,2 = 15,15 kN·m

Lemiamoji reikšmė

M_allow = min = 15,15 kN·m (apatinė kraštinė)

Atsakymas

M_allow = 15,15 kN·m

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 89,76 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·3 + 19,5·4 = 129 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 129 − 39,24 = 89,76 kPa

Atsakymas

σ′ = 89,76 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: u = 68,67 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Atsakymas

u = 68,67 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 153,8 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Prieškonsolidacinis slėgis

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·40 = 100 kPa

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 40 + 110 = 150 kPa > 100 kPa

Nuosėdis

Pakartotinis spaudimas iki σ′_p, pirminis spaudimas už jo.

S = 0,03·3/(1 + 0,95)·log₁₀(100/40) + 0,5·3/(1 + 0,95)·log₁₀(150/100)

S = 18,37 + 135,5 = 153,8 mm

Atsakymas

S = 153,8 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 0,2687 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H/2 = 2/2 = 1 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·1²/1,5 = 0,2687 metai

Atsakymas

t = 0,2687 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 117,7 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Atsakymas

F = 117,7 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 370,8 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·5·6 = 370,8 kN

Atsakymas

F = 370,8 kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δp = 60,75 kPa

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Slėgio aukščio nuostoliai

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,1)·1,5²/(2·9,81) = 6,193 m

Slėgio kritimas

Vamzdis horizontalus, o greitis nekinta, todėl energijos lygtis supaprastėja iki Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·6,193 = 60750 Pa = 60,75 kPa

Atsakymas

Δp = 60,75 kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Q = 82,69 L/s

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,015·100/0,15 = 10

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Energijos lygtis

Abu paviršiai atviri orui ir praktiškai nejuda, todėl visas Δz prarandamas vamzdyje.

25 = (10 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·25/22,4) = 4,679 m/s

Debitas

Q = V·π·D²/4 = 4,679·0,01767 = 0,08269 m³/s = 82,69 L/s

Atsakymas

Q = 82,69 L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 0,2489 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = 0,2209 m², R = D/4 = 0,1875 m

Greitis

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,002^1/2 = 1,127 m/s

Debitas

Q = A·V = 0,2209·1,127 = 0,2489 m³/s

Atsakymas

Q = 0,2489 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,001533 m/m

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1·0,6)·0,6 = 2,46 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,6·√(1 + 1²) = 5,197 m

R = A/P = 0,4733 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·3,9/(2,46·0,6074) = 0,03915

S = 0,03915² = 0,001533

Atsakymas

S = 0,001533

Tai 1,533 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_el = 24,92 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·38 = 18,64 kW

Veleno galia

P_shaft = 18,64/0,85 = 21,93 kW

Elektrinė galia

P_el = 21,93/0,88 = 24,92 kW

Atsakymas

P_el = 24,92 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 65,96 m

Greitis

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,3305 = 22,47 m

Pjezometrinis aukštis

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai praktiškai nejuda, todėl greitinio aukščio nario nėra.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 18 + 25,48 + 22,47 = 65,96 m

Atsakymas

H = 65,96 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 3313 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·2 = 8

Būsimoji vertė

FV = 3 000·(1 + 0,0125)⁸ = 3 000·1,104 = €3 313,46

Atsakymas

FV = €3 313,46

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: N = 24 įmokos

Pertvarkykite anuiteto formulę

i = 0,0035

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,0035/450 = 0,9222

Spręskite logaritmais

N = −ln(0,9222)/ln(1,004) = 23,17

Apvalinkite į didesnę pusę iki sveikų įmokų

Po 23 pilnų įmokų lieka nedidelis likutis, kurį padengia paskutinė, mažesnė įmoka.

N = 24

Atsakymas

N = 24 įmokos

27.NPV ir IRR

Atsakymas: DPB = 3,826 metai

Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.

Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai

metai 1: 20 000/1,1 = 18 181,82 → Σ = 18 181,82

metai 2: 12 000/1,21 = 9 917,36 → Σ = 28 099,17

metai 3: 14 500/1,331 = 10 894,06 → Σ = 38 993,24

metai 4: 19 500/1,464 = 13 318,76 → Σ = 52 312,00

Paskutiniųjų metų dalis

DPB = 3 + 11 006,76/13 318,76 = 3,826

Atsakymas

DPB = 3,826 metai

Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3,179 metų).

28.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 24,06 %

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Apribokite IRR iš abiejų pusių

Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.

NPV(20%) = 1 666,67

NPV(25%) = −360,00

Siaurinkite

Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.

IRR ≈ 20 + 5·1 666,67/(1 666,67 − (−360,00)) = 24,11%

tiksliai: NPV(24,06%) = 0 → IRR = 24,06%

Atsakymas

IRR = 24,06%

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,03

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,6970)/2 = 0,8485

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8485 ir nuskaitykite z.

z = 1,03

Atsakymas

z = 1,03

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9868

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Tikimybė

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Atsakymas

P = 0,9868

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil