FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 6 mP₁ = 25 kN ties 3 mP₂ = 40 kN ties 3,5 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 6 mP = 35 kN ties 1 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 3 m

R_A = kN

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

F: 25 kN ↓G: 10 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 15 kN ↓G: 25 kN ↓H: 15 kN ←

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 6 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 4 mP = 50 kN ties 2 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 4 m

M_max = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 125 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 125 mm

h_req = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 200 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 140 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 14 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.

b = 200 mmh = 140 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 30 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 30 kN·m

σ_apačia = MPa

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15 kN/m³smėlis: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 20 kN/m³molis: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

4,5 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,2, C_r = 0,06 ir e₀ = 0,8. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 55 kPa , o perkonsolidavimo laipsnis OCR = 1,5. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 70 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 4,5 mC_c = 0,2C_r = 0,06e₀ = 0,8σ′₀ = 55 kPaOCR = 1,5Δσ = 70 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

8 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 2 m²/metus. Jis slūgso ant nelaidžios uolienos, virš jo – smėlis, todėl vanduo išteka tik viršuje. 50% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,197. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 50% konsolidaciją?

H = 8 mc_v = 2 m²/metaiU = 50%T_v = 0,197vienpusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 1 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 2,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo 30 L/s debitu teka 1000 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 150 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,028 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius h_f.

Q = 30 L/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

150 m ilgio vamzdis, kurio vidinis skersmuo 200 mm (Darsi trinties koeficientas f = 0,02), išeina iš atviro rezervuaro ir laisva čiurkšle išteka į orą. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 4 alkūnės (K = 0,3 kiekviena) ir sklendė (K = 0,2). Imkite g = 9,81 m/s². Kiek aukščiau H už vamzdžio galą turi būti rezervuaro paviršius, kad debitas būtų 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2

H = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Betoninis lietaus nuotekų kolektorius, kurio vidinis skersmuo 750 mm, teka pusiau pilnas. Manningo n = 0,013, nuolydis S = 0,0005. Raskite debitą Q m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,0005

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Stačiakampis plytų mūras kanalas, kurio plotis 4 m, turi praleisti 13 m³/s tolygiu tekėjimu 1,1 m gylyje. Manningo n = 0,015. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 13 m³/sb = 4 my = 1,1 mn = 0,015

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys, kurio naudingumo koeficientas 82%, tiekia 15 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 42 m slėgio aukštį. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite reikiamą veleno galią P_shaft kW.

Q = 15 L/sH = 42 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 120 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 23 m aukščiau. Vamzdis yra 400 m ilgio, jo vidinis skersmuo 250 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,018; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 8 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 120 L/sΔz = 23 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 19,5% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.

r = 19,5%m = 4

EAR = %

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Kiekvieno mėnesio pabaigoje 21 metus atidedate €200. Sąskaita moka 3 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.

A = €2003% / 12N = 252

FV = €

27.NPV ir IRRVidutinis

Projektas šiandien kainuoja €30 000 ir kiekvienų metų pabaigoje 6 metų grąžina €9 500. Kapitalo kaina 8 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 500CF₂ = 9 500CF₃ = 9 500CF₄ = 9 500CF₅ = 9 500CF₆ = 9 500

DPB = metai

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €25 000 ir 1–4 metų pabaigoje grąžina po €10 000, €9 000, €11 500, €13 000. Pinigų srautus galima reinvestuoti 10 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 10 000CF₂ = 9 000CF₃ = 11 500CF₄ = 13 000

MIRR = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 436 ir 550 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x₁ = 436x₂ = 550

P =

30.Normalusis skirstinysSunkus

baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 70 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 500 hσ = 40 h70%

x = h

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 29,17 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·3 + 40·3,5

R_B = 215/6 = 35,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 35,83 = 29,17 kN

Atsakymas

R_A = 29,17 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 42,67 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, veikianti taške x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1 + 6·3·1,5

R_B = 62/6 = 10,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 53 − 10,33 = 42,67 kN

Atsakymas

R_A = 42,67 kN

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 17,81 kN (T), BC: 16,88 kN (T), CD: 16,88 kN (T), DE: 8,437 kN (T), FG: 17,81 kN (C), GH: 8,437 kN (C), AF: 29,69 kN (C), HE: 14,06 kN (C), BF: 1,25 kN (C), CG: 0, DH: 11,25 kN (T), BG: 1,563 kN (T), DG: 14,06 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 6,562 kN (T), BC: 16,87 kN (T), CD: 16,87 kN (T), DE: 8,437 kN (T), FG: 21,56 kN (C), GH: 23,44 kN (C), AF: 35,94 kN (C), HE: 14,06 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 11,25 kN (T), BG: 17,19 kN (C), DG: 14,06 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 30 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Perpjaukite ties x = 6 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 20·6 − 5·6·3 = 30 kN·m

Atsakymas

M_x = 30 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 60 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·2 + 5·4·2

R_B = 140/4 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 35 = 35 kN

Kur V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 25 kN

V(2⁺) = 25 − 50 = −25 kN

Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.

Didžiausias momentas

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 35·2 − 5·2²/2 = 60 kN·m

Atsakymas

M_max = 60 kN·m

Tai yra taške x = 2 m nuo A.

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 2,482 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 2,482 mm

Atsakymas

δ_max = 2,482 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 130,2 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,301 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·2,301 × 10⁷/125)^1/3 = 130,2 mm

Atsakymas

h_req = 130,2 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 131,6 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1250² = 131595 N = 131,6 kN

Atsakymas

P_cr = 131,6 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 11,05 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Atsakymas

σ_cr = 11,05 MPa

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: ȳ = 46,03 mm

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į stačiakampius

Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.

bazė: A₁ = 200·14 = 2800 mm², y₁ = 7 mm

dvi lentynos: A₂ = 2·14·126 = 3528 mm², y₂ = 14 + 126/2 = 77 mm

Svorio centras

ȳ = (2800·7 + 3528·77)/6328 = 46,03 mm

Atsakymas

ȳ = 46,03 mm

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 294,8 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

sienelė: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·175 + 1600·80)/10600 = 160,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·30³/12 + 9000·(175 − 160,7)² = 2,526 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 10·160³/12 + 1600·(80 − 160,7)² = 1,382 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,526 × 10⁶ + 1,382 × 10⁷ = 1,635 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 160,7 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·160,7/1,635 × 10⁷ = 294,8 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 294,8 MPa

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 53,69 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·3 + 18,5·1 = 63,5 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 63,5 − 9,81 = 53,69 kPa

Atsakymas

σ′ = 53,69 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 91,14 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·2

σ = 16,5·2 + 20·4 + 18,5·2 = 150 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 150 − 58,86 = 91,14 kPa

Atsakymas

σ′ = 91,14 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 116,6 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Prieškonsolidacinis slėgis

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·55 = 82,5 kPa

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 55 + 70 = 125 kPa > 82,5 kPa

Nuosėdis

Pakartotinis spaudimas iki σ′_p, pirminis spaudimas už jo.

S = 0,06·4,5/(1 + 0,8)·log₁₀(82,5/55) + 0,2·4,5/(1 + 0,8)·log₁₀(125/82,5)

S = 26,41 + 90,23 = 116,6 mm

Atsakymas

S = 116,6 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 6,304 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H = 8 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·8²/2 = 6,304 metai

Atsakymas

t = 6,304 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 49,05 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Atsakymas

F = 49,05 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 68,67 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·2 = 68,67 kN

Atsakymas

F = 68,67 kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: h_f = 27,42 m

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Vidutinis greitis

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

Greitinis aukštis

V²/(2g) = 1,698²/(2·9,81) = 0,1469 m

Darsi–Veisbacho lygtis

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,15)·1,698²/(2·9,81) = 27,42 m

Atsakymas

h_f = 27,42 m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: H = 5,2 m

Greitis

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,02·150/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9

Energijos lygtis

Ištekanti čiurkšlė vis dar turi greitinį aukštį; tai ne nuostolis, bet jį reikia suteikti.

H = (1 + 15 + 1,9)·0,2905 = 5,2 m

Atsakymas

H = 5,2 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 0,1245 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = 0,2209 m², R = D/4 = 0,1875 m

Greitis

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,0005^1/2 = 0,5635 m/s

Debitas

Q = A·V = 0,2209·0,5635 = 0,1245 m³/s

Atsakymas

Q = 0,1245 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,003103 m/m

Geometrija

A = b·y = 4·1,1 = 4,4 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1,1 = 6,2 m

R = A/P = 0,7097 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·13/(4,4·0,7956) = 0,0557

S = 0,0557² = 0,003103

Atsakymas

S = 0,003103

Tai 3,103 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 7,537 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·42 = 6,18 kW

Veleno galia

P_shaft = P_h/η = 6,18/0,82 = 7,537 kW

Atsakymas

P_shaft = 7,537 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 34,21 m

Greitis

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (28,8 + 8)·0,3046 = 11,21 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai atviri ir praktiškai nejuda, todėl slėgio ir greičio nariai išnyksta.

H = Δz + h_L = 23 + 11,21 = 34,21 m

Atsakymas

H = 34,21 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: EAR = 20,97 %

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Laikotarpio norma

r/m = 0,195/4 = 0,04875

Kapitalizuokite per vienus metus

EAR = (1 + 0,04875)⁴ − 1 = 1,21 − 1 = 20,97%

Atsakymas

EAR = 20,97%

Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 70091 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·21 = 252

Įmokų būsimoji vertė

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,876 − 1)/0,0025 = €70 090,80

Atsakymas

FV = €70 090,80

Patys įnešėte €50 400; likusi dalis – palūkanos.

27.NPV ir IRR

Atsakymas: DPB = 3,79 metai

Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.

Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai

metai 1: 9 500/1,08 = 8 796,30 → Σ = 8 796,30

metai 2: 9 500/1,166 = 8 144,72 → Σ = 16 941,02

metai 3: 9 500/1,26 = 7 541,41 → Σ = 24 482,42

metai 4: 9 500/1,36 = 6 982,78 → Σ = 31 465,20

Paskutiniųjų metų dalis

DPB = 3 + 5 517,58/6 982,78 = 3,79

Atsakymas

DPB = 3,79 metai

Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3,158 metų).

28.NPV ir IRR

Atsakymas: MIRR = 18,83 %

Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Įplaukų galinė vertė

10 000·1,1³ = 13 310,00

9 000·1,1² = 10 890,00

11 500·1,1¹ = 12 650,00

13 000·1,1⁰ = 13 000,00

TV = 49 850,00

MIRR

MIRR = (49 850,00/25 000)^1/4 − 1 = 18,83%

Atsakymas

MIRR = 18,83%

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8396

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6

z₂ = (550 − 500)/40 = 1,25

Plotas tarp

P = Φ(1,25) − Φ(−1,6) = 0,8944 − 0,0548 = 0,8396

Atsakymas

P = 0,8396

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 479 h

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,3

z iš lentelės

z ≈ −0,52

Atgal į pradinius vienetus

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Atsakymas

x = 479 h

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil