FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 10 mP₁ = 25 kN ties 2 mP₂ = 50 kN ties 8 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 8 mP = 25 kN ties 6 mw = 12 kN/m nuo 5 iki 6 m

R_B = kN

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

D: 10 kN ↓F: 35 kN ↓G: 20 kN ↓H: 35 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

D: 30 kN ↓F: 30 kN →G: 15 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 10 kN ties 3 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 4 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 5 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 5 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

100 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 30 mm pločio ir 40 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 140 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 100 mmh = 200 mmiškirpimas: 30 × 40 mmskylės centras: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite porų vandens slėgį u taške X.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 17 kN/m³smėlis: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite bendrąjį vertikalųjį įtempį σ taške X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 18,5 kN/m³molis: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

4,5 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,5, C_r = 0,05 ir e₀ = 0,65. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 90 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 150 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 160 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 4,5 mC_c = 0,5C_r = 0,05e₀ = 0,65σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 150 kPaΔσ = 160 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

2 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 1,2 m²/metus. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. 70% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,403. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 70% konsolidaciją?

H = 2 mc_v = 1,2 m²/metaiU = 70%T_v = 0,403dvipusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 1 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 1,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 1,5 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (alyva) sienoje, jos viršutinis kraštas 0,5 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo (ρ = 1000 kg/m³) teka 2,4 m/s greičiu horizontaliu 1000 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 100 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,022 ir g = 9,81 m/s². Raskite slėgio kritimą Δp vamzdyje, kPa.

V = 2,4 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

400 m ilgio vamzdis, kurio vidinis skersmuo 250 mm (Darsi trinties koeficientas f = 0,018), išeina iš atviro rezervuaro ir laisva čiurkšle išteka į orą. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 4 alkūnės (K = 0,3 kiekviena) ir sklendė (K = 10). Imkite g = 9,81 m/s². Kiek aukščiau H už vamzdžio galą turi būti rezervuaro paviršius, kad debitas būtų 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Stačiakampis nelygintas betonas kanalas yra 2,5 m pločio. Vanduo teka tolygiai 1,2 m gylyje. Manningo n = 0,014, dugno nuolydis S = 0,004. Raskite debitą Q m³/s.

b = 2,5 my = 1,2 mn = 0,014S = 0,004

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Trapecinis švarus gruntas kanalas, kurio dugno plotis 3 m, o šlaitų nuolydis 3:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 64 m³/s tolygiu tekėjimu 2 m gylyje. Manningo n = 0,022. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 64 m³/sb = 3 my = 2 mz = 3n = 0,022

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys, kurio naudingumo koeficientas 60%, tiekia 100 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 42 m slėgio aukštį. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite reikiamą veleno galią P_shaft kW.

Q = 100 L/sH = 42 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 40 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 5 m aukščiau. Vamzdis yra 300 m ilgio, jo vidinis skersmuo 150 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,022; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 5 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Viršutinis bakas uždaras, o oro virš vandens manometrinis slėgis yra 400 kPa. Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 40 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 5p_tank = 400 kPa

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Po 8 metų jums reikės €5 000. Sąskaita moka 3 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.

FV = €5 0003% / 12n = 8

PV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Kiekvienų metų pradžioje 17 metų įnešate €1 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 7% per metus. Kiek bus sąskaitoje 17-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.

A = €1 000i = 7%n = 17

FV = €

27.NPV ir IRRVidutinis

€75 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €17 000, €30 000, €16 000. Kapitalo kaina – 5 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 17 000CF₂ = 30 000CF₃ = 16 000

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €4 000, €4 000, €3 500. Pinigų srautus galima reinvestuoti 6 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 4 000CF₃ = 3 500

MIRR = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 245 ir 256,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 245x₂ = 256,25

P =

30.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 30 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·2 + 50·8

R_B = 450/10 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 45 = 30 kN

Atsakymas

R_A = 30 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 27 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·6 + 12·1·5,5

R_B = 216/8 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37 − 27 = 10 kN

Atsakymas

R_B = 27 kN

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 47,5 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 52,5 kN (T), FG: 47,5 kN (C), GH: 52,5 kN (C), AF: 67,18 kN (C), HE: 74,25 kN (C), BF: 12,5 kN (T), CG: 0, DH: 17,5 kN (T), BG: 17,68 kN (C), DG: 10,61 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 33,75 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 33,75 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 6,25 kN (C), HE: 50 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), BG: 6,25 kN (C), DG: 12,5 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 6 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 5·3 − 2·3·1,5 = 6 kN·m

Atsakymas

M_x = 6 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 12 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3 + 3·4·2

R_B = 54/4 = 13,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 13,5 = 8,5 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 8,5·3 − 3·3·1,5 = 12 kN·m

Atsakymas

M_x = 12 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 7,266 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 7,266 mm

Atsakymas

δ_max = 7,266 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 1,896 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 4000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·1,76 × 10¹²) = 0,7398 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 1,156 mm

Sudėkite

δ_max = 0,7398 + 1,156 = 1,896 mm

Atsakymas

δ_max = 1,896 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 164,5 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1250² = 164493 N = 164,5 kN

Atsakymas

P_cr = 164,5 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 32,83 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 32,83 mm

Atsakymas

d = 32,83 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 365,6, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 10,45 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

sienelė: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·150 + 1680·70)/5680 = 126,3 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 200·20³/12 + 4000·(150 − 126,3)² = 2,373 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 12·140³/12 + 1680·(70 − 126,3)² = 8,076 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,373 × 10⁶ + 8,076 × 10⁶ = 1,045 × 10⁷ mm⁴ = 10,45 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 10,45 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 64,46 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (20000·100 − 1200·140)/(20000 − 1200) = 97,45 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

100·200³/12 + 20000·2,553² = 66,8 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

30·40³/12 + 1200·42,55² = 2,333 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 64,46 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 64,46 × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: u = 58,86 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Atsakymas

u = 58,86 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ = 123,5 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 15,5·1 + 18,5·3 + 17,5·3 = 123,5 kPa

Atsakymas

σ = 123,5 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 332,8 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 90 + 160 = 250 kPa > 150 kPa

Nuosėdis

Pakartotinis spaudimas iki σ′_p, pirminis spaudimas už jo.

S = 0,05·4,5/(1 + 0,65)·log₁₀(150/90) + 0,5·4,5/(1 + 0,65)·log₁₀(250/150)

S = 30,25 + 302,5 = 332,8 mm

Atsakymas

S = 332,8 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 0,3358 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H/2 = 2/2 = 1 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·1²/1,2 = 0,3358 metai

Atsakymas

t = 0,3358 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 88,29 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Atsakymas

F = 88,29 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 1,083 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1·1,5 = 12,95 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0,125/(1·1,5) = 1,083 m

Atsakymas

y_cp = 1,083 m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δp = 633,6 kPa

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Slėgio aukščio nuostoliai

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,1)·2,4²/(2·9,81) = 64,59 m

Slėgio kritimas

Vamzdis horizontalus, o greitis nekinta, todėl energijos lygtis supaprastėja iki Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·64,59 = 633600 Pa = 633,6 kPa

Atsakymas

Δp = 633,6 kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: H = 19,75 m

Greitis

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,018·400/0,25 = 28,8

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Energijos lygtis

Ištekanti čiurkšlė vis dar turi greitinį aukštį; tai ne nuostolis, bet jį reikia suteikti.

H = (1 + 28,8 + 11,7)·0,4759 = 19,75 m

Atsakymas

H = 19,75 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 9,772 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = b·y = 2,5·1,2 = 3 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,2 = 4,9 m

R = A/P = 0,6122 m

Greitis

V = (1/0,014)·0,6122^2/3·0,004^1/2 = 3,257 m/s

Debitas

Q = A·V = 3·3,257 = 9,772 m³/s

Atsakymas

Q = 9,772 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,005077 m/m

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·2)·2 = 18 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2·√(1 + 3²) = 15,65 m

R = A/P = 1,15 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·64/(18·1,098) = 0,07125

S = 0,07125² = 0,005077

Atsakymas

S = 0,005077

Tai 5,077 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 68,67 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·42 = 41,2 kW

Veleno galia

P_shaft = P_h/η = 41,2/0,6 = 68,67 kW

Atsakymas

P_shaft = 68,67 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 58,57 m

Greitis

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 5)·0,2611 = 12,8 m

Pjezometrinis aukštis

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai praktiškai nejuda, todėl greitinio aukščio nario nėra.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 40,77 + 12,8 = 58,57 m

Atsakymas

H = 58,57 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 3934 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·8 = 96

Dabartinė vertė

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,271 = €3 934,32

Atsakymas

PV = €3 934,32

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 32999 €

Įprastojo anuiteto koeficientas

((1 + 0,07)¹⁷ − 1)/0,07 = 30,84

Išankstinis anuitetas

Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.

FV = 1 000·30,84·1,07 = €32 999,03

Atsakymas

FV = €32 999,03

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −17777 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 17 000/1,05 = 16 190,48

CF₂/(1 + 0,05)² = 30 000/1,103 = 27 210,88

CF₃/(1 + 0,05)³ = 16 000/1,158 = 13 821,40

Sudėkite

NPV = €−17 777,24

Atsakymas

NPV = €−17 777,24

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

28.NPV ir IRR

Atsakymas: MIRR = 6,953 %

Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Įplaukų galinė vertė

4 000·1,06² = 4 494,40

4 000·1,06¹ = 4 240,00

3 500·1,06⁰ = 3 500,00

TV = 12 234,40

MIRR

MIRR = (12 234,40/10 000)^1/3 − 1 = 6,953%

Atsakymas

MIRR = 6,953%

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7357

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (245 − 250)/5 = −1

z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25

Plotas tarp

P = Φ(1,25) − Φ(−1) = 0,8944 − 0,1587 = 0,7357

Atsakymas

P = 0,7357

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 22,13 min

Procentilio z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Atgal į x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Atsakymas

x = 22,13 min

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil