FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 4 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją R_A, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 15 kN ties 0,5 mP₂ = 40 kN ties 6 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 4 mP = 35 kN ties 2,5 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 2 m

R_A = kN

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kN

F_AB = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kNhorizontalioji apkrova = 25 kN →

F_AB = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 0,5 m nuo įtvirtinimo A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 2,5 mP = 65 kN ties 1 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 2,5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

45 kN @ 6 m10 kN @ 2 m8 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 30 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 110 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 110 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 110 mm pločio ir 12 mm storio, bendrasis aukštis 440 mm, o sienelės storis 8 mm. Raskite jo tamprųjį atsparumo momentą S_x lenkiant horizontaliosios centrinės ašies x atžvilgiu.

B = 110 mmH = 440 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 10 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 10 kN·m

σ_viršus = MPa

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite porų vandens slėgį u taške X.

z = 14 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 7,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 20 kN/m³molis: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

3 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,2, C_r = 0,02 ir e₀ = 0,75. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 75 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 125 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 190 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 3 mC_c = 0,2C_r = 0,02e₀ = 0,75σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 125 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

2 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 5 m²/metus. Jis slūgso ant nelaidžios uolienos, virš jo – smėlis, todėl vanduo išteka tik viršuje. 80% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,567. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 80% konsolidaciją?

H = 2 mc_v = 5 m²/metaiU = 80%T_v = 0,567vienpusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 1,5 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 4 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (glicerinas) sienoje, jos viršutinis kraštas 2,5 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 2,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo (ρ = 1000 kg/m³) teka 0,8 m/s greičiu horizontaliu 300 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 200 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,022 ir g = 9,81 m/s². Raskite slėgio kritimą Δp vamzdyje, kPa.

V = 0,8 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

100 m ilgio vamzdis, kurio vidinis skersmuo 300 mm (Darsi trinties koeficientas f = 0,018), išeina iš atviro rezervuaro ir laisva čiurkšle išteka į orą. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 4 alkūnės (K = 0,3 kiekviena) ir sklendė (K = 0,2). Imkite g = 9,81 m/s². Kiek aukščiau H už vamzdžio galą turi būti rezervuaro paviršius, kad debitas būtų 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2

H = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Trapecinio švarus gruntas kanalo dugno plotis 1 m, o šlaitų nuolydis 3:1 (horizontalusis:vertikalusis). Vanduo teka tolygiai 1,2 m gylyje. Manningo n = 0,022, dugno nuolydis S = 0,005. Raskite debitą Q m³/s.

b = 1 my = 1,2 mz = 3n = 0,022S = 0,005

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Trapecinis velėna išklotas gruntas kanalas, kurio dugno plotis 3,5 m, o šlaitų nuolydis 3:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 25 m³/s tolygiu tekėjimu 2,2 m gylyje. Manningo n = 0,03. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 25 m³/sb = 3,5 my = 2,2 mz = 3n = 0,03

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Bandymo metu siurblys tiekia 40 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 60 m slėgio aukštį, o jo velenas naudoja 32,7 kW. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siurblio naudingumo koeficientą η procentais.

Q = 40 L/sH = 60 mP_shaft = 32,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 80 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 16 m aukščiau. Vamzdis yra 100 m ilgio, jo vidinis skersmuo 200 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 3 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Viršutinis bakas uždaras, o oro virš vandens manometrinis slėgis yra 150 kPa. Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 80 L/sΔz = 16 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 3p_tank = 150 kPa

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Investuojate €3 000 esant 3,6 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 6 metų.

PV = €3 0003,6% / 12n = 6

FV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

€150 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 20 metus. Palūkanų norma – 4,8 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.

P = €150 0004,8% / 12N = 240

A = €

27.NPV ir IRRVidutinis

€75 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €32 000, €19 000, €37 000, €20 000. Kapitalo kaina – 10 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 32 000CF₂ = 19 000CF₃ = 37 000CF₄ = 20 000

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €50 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €28 500, €32 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.

CF₀ = −50 000CF₁ = 28 500CF₂ = 32 000

IRR = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,6879. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,6879

z =

30.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 95 % reikšmių (95-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = −6,875 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·0,5 + 40·6

R_B = 247,5/4 = 61,88 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 15 + 40 − 61,88 = −6,875 kN

Atsakymas

R_A = −6,875 kN

R_A neigiama: šarnyras A turi prilaikyti siją, kad ši nepakiltų.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 16,13 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, veikianti taške x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2,5 + 2·2·1

R_B = 91,5/4 = 22,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 22,88 = 16,13 kN

Atsakymas

R_A = 16,13 kN

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −6,731 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·5 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12,5 = 2,5 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2,5/0,3714 = −6,731 kN

Atsakymas

F_AB = −6,731 kN (gniuždymas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −4,658 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·1 + 25·2 → C_y = 10,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 10,83 = 4,167 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −4,167/0,8944 = −4,658 kN

Atsakymas

F_AB = −4,658 kN (gniuždymas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = −56,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −65·0,5 = −32,5 kN·m

w: −12·2²/2 = −24 kN·m

M_x = −32,5 − 24 = −56,5 kN·m

Atsakymas

M_x = −56,5 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: F (x = 5 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 17 kN, R₂ = 78 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 13, M_C = 18, M_D = 5, M_E = −16, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

Atsakymas

Žymė F: M_F = −45 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 17,83 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 17,83 mm

Atsakymas

δ_max = 17,83 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 3,431 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 30000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·2000³/(48·1,7 × 10¹²) = 2,941 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 0,4902 mm

Sudėkite

δ_max = 2,941 + 0,4902 = 3,431 mm

Atsakymas

δ_max = 3,431 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 5,062 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1750² = 5062 N = 5,062 kN

Atsakymas

P_cr = 5,062 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 42,06 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·110000 = 275000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 42,06 mm

Atsakymas

d = 42,06 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 99,86, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: S_x = 767,9 × 10³ mm³

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 440 − 2·12 = 416 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·440³ − 102·416³)/12

I_x = 1,689 × 10⁸ mm⁴

Atsparumo momentas

c = H/2 = 220 mm

S_x = I/c = 1,689 × 10⁸/220

S_x = 767851 mm³ = 767,9 × 10³ mm³

Atsakymas

S_x = 767,9 × 10³ mm³

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 48,24 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

sienelė: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·150 + 2520·70)/4520 = 105,4 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·20³/12 + 2000·(150 − 105,4)² = 4,045 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 18·140³/12 + 2520·(70 − 105,4)² = 7,274 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,045 × 10⁶ + 7,274 × 10⁶ = 1,132 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 160 − 105,4 = 54,6 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·54,6/1,132 × 10⁷ = 48,24 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 48,24 MPa

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: u = 98,1 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·10 = 98,1 kPa

Atsakymas

u = 98,1 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 76,48 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15,5·1 + 20·3 + 18,5·3,5 = 140,3 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6,5 = 63,77 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 140,3 − 63,77 = 76,48 kPa

Atsakymas

σ′ = 76,48 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 119,5 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 75 + 190 = 265 kPa > 125 kPa

Nuosėdis

Pakartotinis spaudimas iki σ′_p, pirminis spaudimas už jo.

S = 0,02·3/(1 + 0,75)·log₁₀(125/75) + 0,2·3/(1 + 0,75)·log₁₀(265/125)

S = 7,606 + 111,9 = 119,5 mm

Atsakymas

S = 119,5 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 0,4536 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H = 2 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·2²/5 = 0,4536 metai

Atsakymas

t = 0,4536 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 242,8 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·4,5 = 242,8 kN

Atsakymas

F = 242,8 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 4,188 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4·6 = 296,7 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 4,5/(4·6) = 4,188 m

Atsakymas

y_cp = 4,188 m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δp = 10,56 kPa

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Slėgio aukščio nuostoliai

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(300/0,2)·0,8²/(2·9,81) = 1,076 m

Slėgio kritimas

Vamzdis horizontalus, o greitis nekinta, todėl energijos lygtis supaprastėja iki Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,076 = 10560 Pa = 10,56 kPa

Atsakymas

Δp = 10,56 kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: H = 0,9079 m

Greitis

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,018·100/0,3 = 6

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9

Energijos lygtis

Ištekanti čiurkšlė vis dar turi greitinį aukštį; tai ne nuostolis, bet jį reikia suteikti.

H = (1 + 6 + 1,9)·0,102 = 0,9079 m

Atsakymas

H = 0,9079 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 13,21 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·1,2)·1,2 = 5,52 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,2·√(1 + 3²) = 8,589 m

R = A/P = 0,6426 m

Greitis

V = (1/0,022)·0,6426^2/3·0,005^1/2 = 2,394 m/s

Debitas

Q = A·V = 5,52·2,394 = 13,21 m³/s

Atsakymas

Q = 13,21 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,0008232 m/m

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 3·2,2)·2,2 = 22,22 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·2,2·√(1 + 3²) = 17,41 m

R = A/P = 1,276 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·25/(22,22·1,176) = 0,02869

S = 0,02869² = 0,0008232

Atsakymas

S = 0,0008232

Tai 0,8232 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: η = 72 %

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·60 = 23,54 kW

Naudingumo koeficientas

η = P_h/P_shaft = 23,54/32,7 = 72%

Atsakymas

η = 72%

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 34,76 m

Greitis

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 3)·0,3305 = 3,47 m

Pjezometrinis aukštis

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai praktiškai nejuda, todėl greitinio aukščio nario nėra.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 16 + 15,29 + 3,47 = 34,76 m

Atsakymas

H = 34,76 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 3722 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·6 = 72

Būsimoji vertė

FV = 3 000·(1 + 0,003)⁷² = 3 000·1,241 = €3 722,10

Atsakymas

FV = €3 722,10

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: A = 973,4 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·20 = 240

Įmoka

N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.

(1 + i)^−N = 0,3836

A = 150 000·0,004/(1 − 0,3836) = €973,44

Atsakymas

A = €973,44

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 11252 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 32 000/1,1 = 29 090,91

CF₂/(1 + 0,1)² = 19 000/1,21 = 15 702,48

CF₃/(1 + 0,1)³ = 37 000/1,331 = 27 798,65

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 20 000/1,464 = 13 660,27

Sudėkite

NPV = €11 252,31

Atsakymas

NPV = €11 252,31

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

28.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 13,42 %

Apribokite IRR iš abiejų pusių

Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.

NPV(10%) = 2 355,37

NPV(15%) = −1 020,79

Siaurinkite

Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.

IRR ≈ 10 + 5·2 355,37/(2 355,37 − (−1 020,79)) = 13,49%

tiksliai: NPV(13,42%) = 0 → IRR = 13,42%

Atsakymas

IRR = 13,42%

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −0,49

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,6879 = 0,3121

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,3121 ir nuskaitykite z.

z = −0,49

Atsakymas

z = −0,49

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 565,8 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Atgal į x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Atsakymas

x = 565,8 h

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil