FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 6 mP₁ = 45 kN ties 2,5 mP₂ = 25 kN ties 3 m

R_B = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi nuliui ir didėja iki 4 kN/m laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 65 kN ties 5 m

M_A = kN·m

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 30 kN ↓D: 25 kN ↓F: 40 kN ↓H: 40 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 2 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 55 kNhorizontalioji apkrova = 10 kN →

F_AB = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 7 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 7 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą M_max tarp atramų.

L = 5,5 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 5,5 matramos ties x = 0 ir x = 4 m

M_max = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Tarpatramio viduryje ją veikia sutelktoji jėga P. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją R_B.

L = 4 mP = 40 kN ties 2 m

R_B = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 75 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 75 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 20 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mmM = 20 kN·m

σ_viršus = MPa

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite porų vandens slėgį u taške X.

z = 8,5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15 kN/m³smėlis: γ_sat = 19 kN/m³molis: γ_sat = 17,5 kN/m³

u = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

7,5 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,5, C_r = 0,05 ir e₀ = 0,7. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 85 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 195 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 190 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 7,5 mC_c = 0,5C_r = 0,05e₀ = 0,7σ′₀ = 85 kPaσ′_p = 195 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

9,5 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 1,2 m²/metus. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. 70% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,403. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 70% konsolidaciją?

H = 9,5 mc_v = 1,2 m²/metaiU = 70%T_v = 0,403dvipusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 1,5 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 3 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 0,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo 60 L/s debitu teka 500 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 300 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,03 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius h_f.

Q = 60 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

Du atviri rezervuarai sujungti 100 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 100 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,022. Viršutinio rezervuaro vandens paviršius yra 23 m aukščiau nei žemutinio. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 3 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 10) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite debitą Q L/s.

Δz = 23 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Stačiakampis plytų mūras kanalas yra 6 m pločio. Vanduo teka tolygiai 1,7 m gylyje. Manningo n = 0,015, dugno nuolydis S = 0,004. Raskite debitą Q m³/s.

b = 6 my = 1,7 mn = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Trapecinis žvyras kanalas, kurio dugno plotis 3,5 m, o šlaitų nuolydis 3:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 37 m³/s tolygiu tekėjimu 2,1 m gylyje. Manningo n = 0,025. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 37 m³/sb = 3,5 my = 2,1 mz = 3n = 0,025

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys tiekia 150 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 26 m slėgio aukštį. Siurblio naudingumo koeficientas 85%, o jį sukančio elektros variklio – 90%. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite variklio naudojamą elektrinę galią P_el kW.

Q = 150 L/sH = 26 mη_pump = 85%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 50 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 10 m aukščiau. Vamzdis yra 400 m ilgio, jo vidinis skersmuo 150 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,022; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 5 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Siurblio naudingumo koeficientas 82%. Raskite veleno galią P_shaft kW.

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 5η = 82%

P_shaft = kW

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Po 4 metų jums reikės €10 000. Sąskaita moka 5 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.

FV = €10 0005% / 4n = 4

PV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Kiekvieno mėnesio pabaigoje 18 metus atidedate €100. Sąskaita moka 4,2 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.

A = €1004,2% / 12N = 216

FV = €

27.NPV ir IRRVidutinis

Mašina šiandien kainuoja €100 000. Kiekvienų metų pabaigoje 5 metų ji generuoja €24 000, o po to gali būti parduota už €25 000. Kapitalo kaina 10%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €100 000CF = €24 000S = €25 000n = 5r = 10%

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €20 500, €16 500, €20 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.

CF₀ = −40 000CF₁ = 20 500CF₂ = 16 500CF₃ = 20 000

IRR = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 172,75 ir 183,95 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 178σ = 7x₁ = 172,75x₂ = 183,95

P =

30.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 75 % reikšmių (75-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 31,25 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2,5 + 25·3

R_B = 187,5/6 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 31,25 = 38,75 kN

Atsakymas

R_B = 31,25 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 410,3 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = W·x̄ + P·a = 16·5,333 + 65·5 = 410,3 kN·m

Atsakymas

M_A = 410,3 kN·m

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas G

FG ir GH yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 68,75 kN (T), BC: 68,75 kN (T), CD: 66,25 kN (T), DE: 66,25 kN (T), FG: 67,5 kN (C), GH: 67,5 kN (C), AF: 97,23 kN (C), HE: 93,69 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 1,768 kN (C), HC: 1,768 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −41,01 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·2 + 10·2 → C_y = 26 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 26 = 29 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −29/0,7071 = −41,01 kN

Atsakymas

F_AB = −41,01 kN (gniuždymas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 31,5 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Perpjaukite ties x = 7 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 15·7 − 3·7·3,5 = 31,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 31,5 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 7,385 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·5,5 = 27,5 kN, veikianti taške x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·5,5·2,75

R_B = 75,63/4 = 18,91 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27,5 − 18,91 = 8,594 kN

Nulinė skersinė jėga

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 8,594/5 = 1,719 m

Didžiausias teigiamas momentas

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 8,594²/(2·5) = 7,385 kN·m

Atsakymas

M_max = 7,385 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 14,49 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 14,49 mm

Atsakymas

δ_max = 14,49 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: R_B = 12,5 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·40/16 = 12,5 kN

Atsakymas

R_B = 12,5 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 17,3 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3500² = 17303 N = 17,3 kN

Atsakymas

P_cr = 17,3 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 79,43 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 79,43 mm

Atsakymas

d = 79,43 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 151,1, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 47,12 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

sienelė: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·250 + 3360·120)/7360 = 190,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 200·20³/12 + 4000·(250 − 190,7)² = 1,422 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 14·240³/12 + 3360·(120 − 190,7)² = 3,29 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,422 × 10⁷ + 3,29 × 10⁷ = 4,712 × 10⁷ mm⁴ = 47,12 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 47,12 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 116,6 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

sienelė: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·130 + 1440·60)/3840 = 103,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 120·20³/12 + 2400·(130 − 103,8)² = 1,734 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 12·120³/12 + 1440·(60 − 103,8)² = 4,484 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,734 × 10⁶ + 4,484 × 10⁶ = 6,218 × 10⁶ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 140 − 103,8 = 36,25 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·36,25/6,218 × 10⁶ = 116,6 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 116,6 MPa

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 101,6 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·3 + 18,5·6 = 160,5 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 160,5 − 58,86 = 101,6 kPa

Atsakymas

σ′ = 101,6 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: u = 44,15 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Atsakymas

u = 44,15 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 408,9 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 85 + 190 = 275 kPa > 195 kPa

Nuosėdis

Pakartotinis spaudimas iki σ′_p, pirminis spaudimas už jo.

S = 0,05·7,5/(1 + 0,7)·log₁₀(195/85) + 0,5·7,5/(1 + 0,7)·log₁₀(275/195)

S = 79,55 + 329,3 = 408,9 mm

Atsakymas

S = 408,9 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 7,577 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H/2 = 9,5/2 = 4,75 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·4,75²/1,2 = 7,577 metai

Atsakymas

t = 7,577 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 176,6 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4,5 = 176,6 kN

Atsakymas

F = 176,6 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 176,6 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN

Atsakymas

F = 176,6 kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: h_f = 1,836 m

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Vidutinis greitis

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,06/0,07069 = 0,8488 m/s

Greitinis aukštis

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Darsi–Veisbacho lygtis

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,3)·0,8488²/(2·9,81) = 1,836 m

Atsakymas

h_f = 1,836 m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Q = 28,45 L/s

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,022·100/0,1 = 22

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Energijos lygtis

Abu paviršiai atviri orui ir praktiškai nejuda, todėl visas Δz prarandamas vamzdyje.

23 = (22 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·23/34,4) = 3,622 m/s

Debitas

Q = V·π·D²/4 = 3,622·0,007854 = 0,02845 m³/s = 28,45 L/s

Atsakymas

Q = 28,45 L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 45,41 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = b·y = 6·1,7 = 10,2 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1,7 = 9,4 m

R = A/P = 1,085 m

Greitis

V = (1/0,015)·1,085^2/3·0,004^1/2 = 4,452 m/s

Debitas

Q = A·V = 10,2·4,452 = 45,41 m³/s

Atsakymas

Q = 45,41 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,001539 m/m

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 3·2,1)·2,1 = 20,58 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·2,1·√(1 + 3²) = 16,78 m

R = A/P = 1,226 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·37/(20,58·1,146) = 0,03923

S = 0,03923² = 0,001539

Atsakymas

S = 0,001539

Tai 1,539 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_el = 50,01 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·26 = 38,26 kW

Veleno galia

P_shaft = 38,26/0,85 = 45,01 kW

Elektrinė galia

P_el = 45,01/0,9 = 50,01 kW

Atsakymas

P_el = 50,01 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 21,52 kW

Greitis

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (58,67 + 5)·0,408 = 25,98 m

Siurblio slėgio aukštis

H = Δz + h_L = 10 + 25,98 = 35,98 m

Veleno galia

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·35,98/0,82 = 21,52 kW

Atsakymas

P_shaft = 21,52 kW

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 8197 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·4 = 16

Dabartinė vertė

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,22 = €8 197,46

Atsakymas

PV = €8 197,46

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 32198 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·18 = 216

Įmokų būsimoji vertė

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(2,127 − 1)/0,0035 = €32 198,03

Atsakymas

FV = €32 198,03

Patys įnešėte €21 600; likusi dalis – palūkanos.

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 6502 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Metinių pinigų srautų dabartinė vertė

24 000·3,791 = 90 978,88

Likvidacinės vertės dabartinė vertė

25 000/1,611 = 15 523,03

NPV

NPV = −100 000 + 90 978,88 + 15 523,03 = €6 501,92

Atsakymas

NPV = €6 501,92

28.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 20,19 %

Apribokite IRR iš abiejų pusių

Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.

NPV(20%) = 115,74

NPV(25%) = −2 800,00

Siaurinkite

Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.

IRR ≈ 20 + 5·115,74/(115,74 − (−2 800,00)) = 20,2%

tiksliai: NPV(20,19%) = 0 → IRR = 20,19%

Atsakymas

IRR = 20,19%

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,5757

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (172,75 − 178)/7 = −0,75

z₂ = (183,95 − 178)/7 = 0,85

Plotas tarp

P = Φ(0,85) − Φ(−0,75) = 0,8023 − 0,2266 = 0,5757

Atsakymas

P = 0,5757

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 253,4 g

Procentilio z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Atgal į x

x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g

Atsakymas

x = 253,37 g

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil