Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 4 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (pagal laikrodžio rodyklę), esanti 5 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
Mazgų metodu raskite jėgą FAC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δB laisvajame gale B.
Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δmax.
L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.
L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.
Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
200 mm × 240 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 30 mm pločio ir 50 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 168 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
Pateiktam grunto pjūviui raskite bendrąjį vertikalųjį įtempį σ taške X.
Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.
2,5 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio Cc = 0,3, Cr = 0,03 ir e₀ = 1,15. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 45 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 125 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 210 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.
4 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas cv = 1,5 m²/metus. Jis slūgso ant nelaidžios uolienos, virš jo – smėlis, todėl vanduo išteka tik viršuje. 80% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius Tv = 0,567. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 80% konsolidaciją?
Vertikali stačiakampė 1,5 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 1 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.
Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (glicerinas) sienoje, jos viršutinis kraštas 1,5 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį ycp žemiau paviršiaus.
Vanduo 40 L/s debitu teka 500 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 300 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,03 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius hf.
Du atviri rezervuarai sujungti 100 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 200 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015. Viršutinio rezervuaro vandens paviršius yra 19 m aukščiau nei žemutinio. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 3 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 5) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite debitą Q L/s.
Betoninis lietaus nuotekų kolektorius, kurio vidinis skersmuo 1200 mm, teka vos pilnas (kaip atviras kanalas, ne slėginis). Manningo n = 0,013, nuolydis S = 0,004. Raskite debitą Q m³/s.
Betoninis nuotekų kolektorius, kurio vidinis skersmuo 600 mm (Manningo n = 0,013), tekėdamas vos pilnas turi pasiekti 0,75 m/s savaiminio išsivalymo greitį. Raskite mažiausią nuolydį S (m/m).
Siurblys tiekia 40 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 10 m slėgio aukštį. Siurblio naudingumo koeficientas 60%, o jį sukančio elektros variklio – 88%. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite variklio naudojamą elektrinę galią Pel kW.
Siurblys perpumpuoja 40 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 10 m aukščiau. Vamzdis yra 150 m ilgio, jo vidinis skersmuo 150 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,02; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 5 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.
Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €6 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 2% per metus. Reikalaujama grąža 6% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
€250 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 30 metų, esant 3% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 21-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.
Projektas šiandien kainuoja €200 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €22 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 2% per metus. Kapitalo kaina 12%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €28 000, €16 500, €16 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 4 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 100,5 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).
Atsakymas: RB = 27,5 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
Neigiama reakcija nukreipta žemyn.
Atsakymas: RA = 40 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
Atsakymas: FAC = 12,5 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
Atsakymas: FBC = −56,69 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
Atsakymas: D (x = 6 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
Atsakymas: F (x = 5 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
Atsakymas: δB = 18,38 mm
Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).
Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.
Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.
Atsakymas: δmax = 8,373 mm
Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).
Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.
Atsakymas: Pcr = 13,49 kN
Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.
Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.
Atsakymas: σcr = 197,4 MPa
Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.
Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.
Atsakymas: Ix = 15,76 × 10⁶ mm⁴
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
Atsakymas: Ix = 226,5 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Atsakymas: σ = 55,5 kPa
Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γw·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).
Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.
Atsakymas: σ′ = 96,29 kPa
Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γw·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).
Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.
Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.
Atsakymas: S = 123,5 mm
Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′f = σ′0 + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′p pakartotinai spaudžiamas pagal Cr, o Cc tiese seka tik už jo. Laikas: t = Tv·Hdr²/cv, kur drenavimo kelias Hdr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.
Pakartotinis spaudimas iki σ′p, pirminis spaudimas už jo.
Atsakymas: t = 6,048 metai
Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′f = σ′0 + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′p pakartotinai spaudžiamas pagal Cr, o Cc tiese seka tik už jo. Laikas: t = Tv·Hdr²/cv, kur drenavimo kelias Hdr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.
Atsakymas: F = 58,86 kN
Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·yc·A. Ji veikia slėgio centre, ycp = yc + Ic/(ycA), kuris visada yra žemiau svorio centro.
Atsakymas: ycp = 3,25 m
Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·yc·A. Ji veikia slėgio centre, ycp = yc + Ic/(ycA), kuris visada yra žemiau svorio centro.
Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.
Atsakymas: hf = 0,8161 m
Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius hf = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius hm = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = hf + hm, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.
Atsakymas: Q = 157,1 L/s
Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius hf = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius hm = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = hf + hm, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.
Abu paviršiai atviri orui ir praktiškai nejuda, todėl visas Δz prarandamas vamzdyje.
Atsakymas: Q = 2,466 m³/s
Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R2/3·S1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.
Atsakymas: S = 0,001193 m/m
Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R2/3·S1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.
Tai 1,193 m kritimas kiekviename kilometre.
Atsakymas: Pel = 7,432 kW
Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: Pshaft = Ph/ηpump, o variklis ima Pel = Pshaft/ηmotor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.
Atsakymas: H = 16,53 m
Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: Pshaft = Ph/ηpump, o variklis ima Pel = Pshaft/ηmotor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.
Abu paviršiai atviri ir praktiškai nejuda, todėl slėgio ir greičio nariai išnyksta.
Atsakymas: PV = 150000 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Atsakymas: B = 99652 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.
Atsakymas: NPV = 20000 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
Atsakymas: IRR = 27,64 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Atsakymas: P = 0,6915
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Atsakymas: x = 173,3 cm
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil