FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 10 mP₁ = 10 kN ties 1 mP₂ = 55 kN ties 6 m

R_B = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 10 mP = 25 kN ties 6 mw = 12 kN/m nuo 8 iki 10 m

R_B = kN

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 2 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kN

F_BC = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 4 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kNhorizontalioji apkrova = 20 kN ←

F_BC = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 5 mP = 55 kN ties 3,5 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 5 m

M_max = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 50 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 50 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

120 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 52,5 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmskylės centras: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

150 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 50 mm pločio ir 30 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 90 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 300 mmiškirpimas: 50 × 30 mmskylės centras: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15 kN/m³smėlis: γ_sat = 20 kN/m³molis: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

2 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,4, C_r = 0,03 ir e₀ = 0,7. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 65 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 145 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 130 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 2 mC_c = 0,4C_r = 0,03e₀ = 0,7σ′₀ = 65 kPaσ′_p = 145 kPaΔσ = 130 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

7,5 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 5 m²/metus. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. 70% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,403. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 70% konsolidaciją?

H = 7,5 mc_v = 5 m²/metaiU = 70%T_v = 0,403dvipusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 3 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 4 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo 25 L/s debitu teka 400 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 150 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,02 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius h_f.

Q = 25 L/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

Du atviri rezervuarai sujungti 150 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 300 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015. Viršutinio rezervuaro vandens paviršius yra 16 m aukščiau nei žemutinio. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 2 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 10) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite debitą Q L/s.

Δz = 16 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Trapecinio nelygintas betonas kanalo dugno plotis 6 m, o šlaitų nuolydis 3:1 (horizontalusis:vertikalusis). Vanduo teka tolygiai 0,9 m gylyje. Manningo n = 0,014, dugno nuolydis S = 0,002. Raskite debitą Q m³/s.

b = 6 my = 0,9 mz = 3n = 0,014S = 0,002

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Trapecinis švarus gruntas kanalas, kurio dugno plotis 6 m, o šlaitų nuolydis 2:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 84 m³/s tolygiu tekėjimu 2,2 m gylyje. Manningo n = 0,022. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 84 m³/sb = 6 my = 2,2 mz = 2n = 0,022

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Bandymo metu siurblys tiekia 80 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 74 m slėgio aukštį, o jo velenas naudoja 89,3 kW. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siurblio naudingumo koeficientą η procentais.

Q = 80 L/sH = 74 mP_shaft = 89,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 100 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 5 m aukščiau. Vamzdis yra 600 m ilgio, jo vidinis skersmuo 250 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,025; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 6 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Siurblio naudingumo koeficientas 82%. Raskite veleno galią P_shaft kW.

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 6η = 82%

P_shaft = kW

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Po 7 metų jums reikės €50 000. Sąskaita moka 2 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.

FV = €50 0002% / 4n = 7

PV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Po 5 metų norite turėti €25 000. Kiekvieno mėnesio pabaigoje atidedate tą pačią sumą į sąskaitą, kuri moka 7,2% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite mėnesio įnašą A.

FV = €25 0007,2% / 12N = 60

A = €

27.NPV ir IRRVidutinis

Projektas šiandien kainuoja €30 000 ir 1–6 metų pabaigoje grąžina po €12 500, €13 000, €13 000, €12 000, €11 500, €12 500. Kapitalo kaina 12 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 500CF₂ = 13 000CF₃ = 13 000CF₄ = 12 000CF₅ = 11 500CF₆ = 12 500

DPB = metai

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas šiandien kainuoja €200 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €36 500 ir auga 5 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 6-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 12 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €36 500g = 5%n = 6r = 12%

NPV = €

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 488 ir 508 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x₁ = 488x₂ = 508

P =

30.Normalusis skirstinysSunkus

egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 10 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.10%

x = tšk.

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 34 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·1 + 55·6

R_B = 340/10 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 34 = 31 kN

Atsakymas

R_B = 34 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 36,6 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 9 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·6 + 12·2·9

R_B = 366/10 = 36,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 36,6 = 12,4 kN

Atsakymas

R_B = 36,6 kN

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −27,04 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·1 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 15 = 45 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,5547 = −27,04 kN

Atsakymas

F_BC = −27,04 kN (gniuždymas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = 4,472 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·3 − 20·4 → C_y = −4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − −4 = 24 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−4/0,8944 = 4,472 kN

Atsakymas

F_BC = 4,472 kN (tempimas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 15,75 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Perpjaukite ties x = 1,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 15·1,5 − 6·1,5·0,75 = 15,75 kN·m

Atsakymas

M_x = 15,75 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 89,25 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·3,5 + 12·5·2,5

R_B = 342,5/5 = 68,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 68,5 = 46,5 kN

Kur V = 0?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 4,5 kN

V(3,5⁺) = 4,5 − 55 = −50,5 kN

Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.

Didžiausias momentas

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 46,5·3,5 − 12·3,5²/2 = 89,25 kN·m

Atsakymas

M_max = 89,25 kN·m

Tai yra taške x = 3,5 m nuo A.

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 1,41 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·1500⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 1,41 mm

Atsakymas

δ_max = 1,41 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 184,1 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,841 × 10⁸ mm⁴

I_req = 184,1 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 184,1 × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 71,19 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1050² = 71188 N = 71,19 kN

Atsakymas

P_cr = 71,19 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 55,21 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 55,21 mm

Atsakymas

d = 55,21 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 217,4, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (18000·75 − 706,9·52,5)/(18000 − 706,9) = 75,92 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·150³/12 + 18000·−0,9197² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·30⁴/64 + 706,9·−23,42² = 0,4275 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 331,8 × 10⁶ mm⁴

Svorio centras

ȳ = (45000·150 − 1500·90)/(45000 − 1500) = 152,1 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·300³/12 + 45000·−2,069² = 337,7 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

50·30³/12 + 1500·−62,07² = 5,891 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 331,8 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 331,8 × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 24,69 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·1 + 19·1 = 34,5 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 34,5 − 9,81 = 24,69 kPa

Atsakymas

σ′ = 24,69 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 109,1 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 15·4 + 20·2 + 17·4 = 168 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 168 − 58,86 = 109,1 kPa

Atsakymas

σ′ = 109,1 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 72,85 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 65 + 130 = 195 kPa > 145 kPa

Nuosėdis

Pakartotinis spaudimas iki σ′_p, pirminis spaudimas už jo.

S = 0,03·2/(1 + 0,7)·log₁₀(145/65) + 0,4·2/(1 + 0,7)·log₁₀(195/145)

S = 12,3 + 60,55 = 72,85 mm

Atsakymas

S = 72,85 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 1,133 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H/2 = 7,5/2 = 3,75 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·3,75²/5 = 1,133 metai

Atsakymas

t = 1,133 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 73,58 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Atsakymas

F = 73,58 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 196,2 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·4 = 196,2 kN

Atsakymas

F = 196,2 kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: h_f = 5,44 m

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Vidutinis greitis

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

Greitinis aukštis

V²/(2g) = 1,415²/(2·9,81) = 0,102 m

Darsi–Veisbacho lygtis

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,15)·1,415²/(2·9,81) = 5,44 m

Atsakymas

h_f = 5,44 m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Q = 282,9 L/s

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,015·150/0,3 = 7,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Energijos lygtis

Abu paviršiai atviri orui ir praktiškai nejuda, todėl visas Δz prarandamas vamzdyje.

16 = (7,5 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·16/19,6) = 4,002 m/s

Debitas

Q = V·π·D²/4 = 4,002·0,07069 = 0,2829 m³/s = 282,9 L/s

Atsakymas

Q = 282,9 L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 19,15 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·0,9)·0,9 = 7,83 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,9·√(1 + 3²) = 11,69 m

R = A/P = 0,6697 m

Greitis

V = (1/0,014)·0,6697^2/3·0,002^1/2 = 2,445 m/s

Debitas

Q = A·V = 7,83·2,445 = 19,15 m³/s

Atsakymas

Q = 19,15 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,003995 m/m

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (6 + 2·2,2)·2,2 = 22,88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,2·√(1 + 2²) = 15,84 m

R = A/P = 1,445 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·84/(22,88·1,278) = 0,06321

S = 0,06321² = 0,003995

Atsakymas

S = 0,003995

Tai 3,995 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: η = 65,03 %

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·74 = 58,08 kW

Naudingumo koeficientas

η = P_h/P_shaft = 58,08/89,3 = 65,03%

Atsakymas

η = 65,03%

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 22,68 kW

Greitis

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 6)·0,2115 = 13,96 m

Siurblio slėgio aukštis

H = Δz + h_L = 5 + 13,96 = 18,96 m

Veleno galia

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·18,96/0,82 = 22,68 kW

Atsakymas

P_shaft = 22,68 kW

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 43483 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·7 = 28

Dabartinė vertė

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,15 = €43 483,08

Atsakymas

PV = €43 483,08

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: A = 347,4 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·5 = 60

Įnašas

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,006/(1,432 − 1) = €347,39

Atsakymas

A = €347,39

27.NPV ir IRR

Atsakymas: DPB = 2,916 metai

Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.

Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai

metai 1: 12 500/1,12 = 11 160,71 → Σ = 11 160,71

metai 2: 13 000/1,254 = 10 363,52 → Σ = 21 524,23

metai 3: 13 000/1,405 = 9 253,14 → Σ = 30 777,38

Paskutiniųjų metų dalis

DPB = 2 + 8 475,77/9 253,14 = 2,916

Atsakymas

DPB = 2,916 metai

Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (2,346 metų).

28.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −32587 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Augančio anuiteto dabartinė vertė

((1,05)/(1,12))⁶ = 0,6789

PV = 36 500/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,6789) = 167 412,90

NPV

NPV = 167 412,90 − 200 000 = −€32 587,10

Atsakymas

NPV = −€32 587,10

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1972

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Plotas tarp

P = Φ(0,2) − Φ(−0,3) = 0,5793 − 0,3821 = 0,1972

Atsakymas

P = 0,1972

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 77,8 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,9

z iš lentelės

z ≈ 1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 tšk.

Atsakymas

x = 77,8 tšk.

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil