FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 10 mP₁ = 25 kN ties 6 mP₂ = 30 kN ties 9 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 5 mP = 35 kN ties 3,5 mw = 3 kN/m nuo 3 iki 4 m

R_B = kN

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 3 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kN

F_BC = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 4 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 40 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN →

F_AB = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

55 kN @ 0 m60 kN @ 12 m40 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 120 mm pločio ir 16 mm storio, bendrasis aukštis 300 mm, o sienelės storis 6 mm. Jį veikia 120 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite didžiausio lenkimo įtempio didumą σ_max skerspjūvyje.

B = 120 mmH = 300 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite bendrąjį vertikalųjį įtempį σ taške X.

z = 9,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 20,5 kN/m³molis: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

6 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,4, C_r = 0,03 ir e₀ = 1,2. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 105 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 205 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 40 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 6 mC_c = 0,4C_r = 0,03e₀ = 1,2σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 205 kPaΔσ = 40 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

5 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 1 m²/metus. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. 70% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,403. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 70% konsolidaciją?

H = 5 mc_v = 1 m²/metaiU = 70%T_v = 0,403dvipusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 3 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 1 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo (ρ = 1000 kg/m³) teka 1,1 m/s greičiu horizontaliu 200 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 200 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,025 ir g = 9,81 m/s². Raskite slėgio kritimą Δp vamzdyje, kPa.

V = 1,1 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

Du atviri rezervuarai sujungti 500 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 250 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 2 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 10) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Koks vandens lygių skirtumas Δz tarp rezervuarų užtikrina 80 L/s debitą?

Q = 80 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Trapecinio velėna išklotas gruntas kanalo dugno plotis 2 m, o šlaitų nuolydis 1:1 (horizontalusis:vertikalusis). Vanduo teka tolygiai 1,3 m gylyje. Manningo n = 0,03, dugno nuolydis S = 0,002. Raskite debitą Q m³/s.

b = 2 my = 1,3 mz = 1n = 0,03S = 0,002

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Stačiakampis velėna išklotas gruntas kanalas, kurio plotis 1 m, turi praleisti 0,76 m³/s tolygiu tekėjimu 1,4 m gylyje. Manningo n = 0,03. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 0,76 m³/sb = 1 my = 1,4 mn = 0,03

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys tiekia 10 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 80 m slėgio aukštį. Siurblio naudingumo koeficientas 85%, o jį sukančio elektros variklio – 94%. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite variklio naudojamą elektrinę galią P_el kW.

Q = 10 L/sH = 80 mη_pump = 85%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 8 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 6 m aukščiau. Vamzdis yra 100 m ilgio, jo vidinis skersmuo 100 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,025; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 8 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 8 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Po 8 metų jums reikės €20 000. Sąskaita moka 6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.

FV = €20 0006% / 12n = 8

PV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

€200 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 30 metų, esant 5,4% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 4-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.

P = €200 0005,4% / 12N = 360k = 48

B = €

27.NPV ir IRRVidutinis

Mašina šiandien kainuoja €100 000. Kiekvienų metų pabaigoje 7 metų ji generuoja €20 500, o po to gali būti parduota už €10 000. Kapitalo kaina 8%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €100 000CF = €20 500S = €10 000n = 7r = 8%

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €50 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €21 500, €23 500, €24 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.

CF₀ = −50 000CF₁ = 21 500CF₂ = 23 500CF₃ = 24 000

IRR = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 242 ir 257,5 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 242x₂ = 257,5

P =

30.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 13 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·6 + 30·9

R_B = 420/10 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 42 = 13 kN

Atsakymas

R_A = 13 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 26,6 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, veikianti taške x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3,5 + 3·1·3,5

R_B = 133/5 = 26,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 38 − 26,6 = 11,4 kN

Atsakymas

R_B = 26,6 kN

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −52,7 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·5 → C_y = 50 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 50 = 10 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −50/0,9487 = −52,7 kN

Atsakymas

F_BC = −52,7 kN (gniuždymas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = 21,34 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·5 + 30·4 → C_y = 53,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 53,33 = −13,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−13,33/0,6247 = 21,34 kN

Atsakymas

F_AB = 21,34 kN (tempimas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 63 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Perpjaukite ties x = 3,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 32·3,5 − 8·3,5·1,75 = 63 kN·m

Atsakymas

M_x = 63 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: F (x = 10 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 83,75 kN, R₂ = 71,25 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −110, M_C = −52,5, M_D = −75, M_E = −97,5, M_F = −120 kN·m, M_G = 0

Atsakymas

Žymė F: M_F = −120 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 19,14 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 19,14 mm

Atsakymas

δ = 19,14 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 12 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·4000⁴/(384·200000·11,11) = 1,2 × 10⁷ mm⁴

I_req = 12 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 12 × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 15,86 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2800² = 15862 N = 15,86 kN

Atsakymas

P_cr = 15,86 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 64,45 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/10 = 175

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64,45 MPa

Atsakymas

σ_cr = 64,45 MPa

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 81,06 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

sienelė: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·275 + 4160·130)/11960 = 224,6 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 260·30³/12 + 7800·(275 − 224,6)² = 2,043 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 16·260³/12 + 4160·(130 − 224,6)² = 6,064 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,043 × 10⁷ + 6,064 × 10⁷ = 8,106 × 10⁷ mm⁴ = 81,06 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 81,06 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_max = 206,6 MPa

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 300 − 2·16 = 268 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·300³ − 114·268³)/12

I_x = 8,714 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 150 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·150/8,714 × 10⁷ = 206,6 MPa

Atsakymas

σ_max = 206,6 MPa

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 26,69 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·1 + 20·1 = 36,5 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 36,5 − 9,81 = 26,69 kPa

Atsakymas

σ′ = 26,69 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ = 175,8 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16,5·3 + 20,5·3 + 18,5·3,5 = 175,8 kPa

Atsakymas

σ = 175,8 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 11,47 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 105 + 40 = 145 kPa ≤ 205 kPa

Nuosėdis

Molis lieka ant pakartotinio spaudimo tiesės.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·6/(1 + 1,2)·log₁₀(145/105) = 11,47 mm

Atsakymas

S = 11,47 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 2,519 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H/2 = 5/2 = 2,5 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·2,5²/1 = 2,519 metai

Atsakymas

t = 2,519 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 68,67 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·2 = 68,67 kN

Atsakymas

F = 68,67 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 3,714 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 2,25/(3,5·3) = 3,714 m

Atsakymas

y_cp = 3,714 m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δp = 15,13 kPa

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Slėgio aukščio nuostoliai

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(200/0,2)·1,1²/(2·9,81) = 1,542 m

Slėgio kritimas

Vamzdis horizontalus, o greitis nekinta, todėl energijos lygtis supaprastėja iki Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,542 = 15125 Pa = 15,13 kPa

Atsakymas

Δp = 15,13 kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δz = 5,699 m

Greitis

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,015·500/0,25 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Bendri slėgio aukščio nuostoliai

h_f = 30·0,1354 = 4,061 m

h_m = 12,1·0,1354 = 1,638 m

Δz = h_f + h_m = 5,699 m

Atsakymas

Δz = 5,699 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 5,306 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·1,3)·1,3 = 4,29 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,3·√(1 + 1²) = 5,677 m

R = A/P = 0,7557 m

Greitis

V = (1/0,03)·0,7557^2/3·0,002^1/2 = 1,237 m/s

Debitas

Q = A·V = 4,29·1,237 = 5,306 m³/s

Atsakymas

Q = 5,306 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,001004 m/m

Geometrija

A = b·y = 1·1,4 = 1,4 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,4 = 3,8 m

R = A/P = 0,3684 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·0,76/(1,4·0,5139) = 0,03169

S = 0,03169² = 0,001004

Atsakymas

S = 0,001004

Tai 1,004 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_el = 9,822 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·80 = 7,848 kW

Veleno galia

P_shaft = 7,848/0,85 = 9,233 kW

Elektrinė galia

P_el = 9,233/0,94 = 9,822 kW

Atsakymas

P_el = 9,822 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 7,745 m

Greitis

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0,05288 = 1,745 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai atviri ir praktiškai nejuda, todėl slėgio ir greičio nariai išnyksta.

H = Δz + h_L = 6 + 1,745 = 7,745 m

Atsakymas

H = 7,745 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 12390 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·8 = 96

Dabartinė vertė

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,614 = €12 390,48

Atsakymas

PV = €12 390,48

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: B = 188079 €

Mėnesinė įmoka

i = 0,0045, N = 360

A = 200 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻³⁶⁰) = €1 123,06

Likusių įmokų dabartinė vertė

Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.

N − k = 360 − 48 = 312

B = 1123·(1 − (1 + 0,0045)⁻³¹²)/0,0045 = €188 078,54

Atsakymas

B = €188 078,54

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 12565 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Metinių pinigų srautų dabartinė vertė

20 500·5,206 = 106 730,59

Likvidacinės vertės dabartinė vertė

10 000/1,714 = 5 834,90

NPV

NPV = −100 000 + 106 730,59 + 5 834,90 = €12 565,49

Atsakymas

NPV = €12 565,49

28.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 17,64 %

Apribokite IRR iš abiejų pusių

Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.

NPV(15%) = 2 245,42

NPV(20%) = −1 875,00

Siaurinkite

Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.

IRR ≈ 15 + 5·2 245,42/(2 245,42 − (−1 875,00)) = 17,72%

tiksliai: NPV(17,64%) = 0 → IRR = 17,64%

Atsakymas

IRR = 17,64%

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8784

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (242 − 250)/5 = −1,6

z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5

Plotas tarp

P = Φ(1,5) − Φ(−1,6) = 0,9332 − 0,0548 = 0,8784

Atsakymas

P = 0,8784

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 173,3 cm

Procentilio z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Atgal į x

x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm

Atsakymas

x = 173,28 cm

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil