FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 10 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 10 mP = 65 kN ties 10 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 10 m

M_A = kN·m

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 1 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 40° kampu į horizontalę, o 2,5 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą R_A.

L = 4 mP = 10 kN ties 1 m, θ = 40°Q = 15 kN ties 2,5 m

R_A = kN

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kN

F_BC = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 2 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kNhorizontalioji apkrova = 20 kN ←

F_AB = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

35 kN @ 3 m30 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 20 kN ties 2,5 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 20 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (plienas)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 30 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 45 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 45 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

120 mm × 300 mm plokštė turi apvalią 50 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 90 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mmskylės centras: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 15 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_viršus = MPa

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite porų vandens slėgį u taške X.

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15 kN/m³smėlis: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16 kN/m³smėlis: γ_sat = 19,5 kN/m³molis: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

6 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,25, C_r = 0,04 ir e₀ = 0,9. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 115 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 175 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 190 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 6 mC_c = 0,25C_r = 0,04e₀ = 0,9σ′₀ = 115 kPaσ′_p = 175 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

4 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 1,5 m²/metus. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. 50% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,197. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 50% konsolidaciją?

H = 4 mc_v = 1,5 m²/metaiU = 50%T_v = 0,197dvipusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 1,5 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 0,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 3 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo 75 L/s debitu teka 400 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 300 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,028 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius h_f.

Q = 75 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

300 m ilgio vamzdis, kurio vidinis skersmuo 300 mm (Darsi trinties koeficientas f = 0,018), išeina iš atviro rezervuaro ir laisva čiurkšle išteka į orą. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 3 alkūnės (K = 0,3 kiekviena) ir sklendė (K = 2). Imkite g = 9,81 m/s². Kiek aukščiau H už vamzdžio galą turi būti rezervuaro paviršius, kad debitas būtų 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Trapecinio nelygintas betonas kanalo dugno plotis 3 m, o šlaitų nuolydis 1,5:1 (horizontalusis:vertikalusis). Vanduo teka tolygiai 2,4 m gylyje. Manningo n = 0,014, dugno nuolydis S = 0,003. Raskite debitą Q m³/s.

b = 3 my = 2,4 mz = 1,5n = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Betoninis nuotekų kolektorius, kurio vidinis skersmuo 300 mm (Manningo n = 0,013), tekėdamas vos pilnas turi pasiekti 0,6 m/s savaiminio išsivalymo greitį. Raskite mažiausią nuolydį S (m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys tiekia 60 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 60 m slėgio aukštį. Siurblio naudingumo koeficientas 72%, o jį sukančio elektros variklio – 90%. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite variklio naudojamą elektrinę galią P_el kW.

Q = 60 L/sH = 60 mη_pump = 72%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 30 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 11 m aukščiau. Vamzdis yra 200 m ilgio, jo vidinis skersmuo 150 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,018; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 6 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Siurblio naudingumo koeficientas 70%. Raskite veleno galią P_shaft kW.

Q = 30 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Investuojate €8 000 esant 3,6 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 9 metų.

PV = €8 0003,6% / 12n = 9

FV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Kiekvieno mėnesio pabaigoje 26 metus atidedate €50. Sąskaita moka 7,2 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.

A = €507,2% / 12N = 312

FV = €

27.NPV ir IRRVidutinis

€45 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €16 000, €13 000, €14 000, €14 000. Kapitalo kaina – 5 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 16 000CF₂ = 13 000CF₃ = 14 000CF₄ = 14 000

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas šiandien kainuoja €80 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €10 500 ir auga 2 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 7-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €10 500g = 2%n = 7r = 8%

NPV = €

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 248,5 ir 257,5 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,5x₂ = 257,5

P =

30.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 750 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 2·10 = 20 kN, x̄ = 5 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = P·a + W·x̄ = 65·10 + 20·5 = 750 kN·m

Atsakymas

M_A = 750 kN·m

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 12,95 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

P_v = 10·sin 40° = 6,428 kN

P_h = 10·cos 40° = 7,66 kN

Reakcijos

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6,428·1 + 15·2,5 → R_B = 10,98 kN

A_y = 6,428 + 15 − 10,98 = 10,45 kN

A_x = P_h = 7,66 kN

Atstojamoji ties A

R_A = √(7,66² + 10,45²) = 12,95 kN

Atsakymas

R_A = 12,95 kN

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −23,72 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22,5/0,9487 = −23,72 kN

Atsakymas

F_BC = −23,72 kN (gniuždymas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −61,49 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·1 − 20·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 5 = 55 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −55/0,8944 = −61,49 kN

Atsakymas

F_AB = −61,49 kN (gniuždymas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 3 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 42,5 kN, R₂ = 22,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 42,5, M_C = 55, M_D = 67,5 kN·m, M_E = 45, M_F = 22,5, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 67,5 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 40,63 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·2,5 + 5·5·2,5

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Perpjaukite ties x = 2,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 22,5·2,5 − 5·2,5·1,25 = 40,63 kN·m

Atsakymas

M_x = 40,63 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 4,891 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 20000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa³/(3EI) = 20000·1500³/(3·4,6 × 10¹²) = 4,891 mm

Atsakymas

δ_P = 4,891 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 17,89 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 30000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·2000³/(48·3,96 × 10¹¹) = 12,63 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 5,261 mm

Sudėkite

δ_max = 12,63 + 5,261 = 17,89 mm

Atsakymas

δ_max = 17,89 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 2,811 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/4000² = 2811 N = 2,811 kN

Atsakymas

P_cr = 2,811 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 84,16 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 84,16 mm

Atsakymas

d = 84,16 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 285,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (36000·150 − 1963·90)/(36000 − 1963) = 153,5 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·300³/12 + 36000·−3,461² = 270,4 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·50⁴/64 + 1963·−63,46² = 8,214 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 27,83 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

sienelė: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·285 + 3360·140)/5560 = 197,4 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 220·10³/12 + 2200·(285 − 197,4)² = 1,691 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 12·280³/12 + 3360·(140 − 197,4)² = 3,301 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,691 × 10⁷ + 3,301 × 10⁷ = 4,992 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 290 − 197,4 = 92,63 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·92,63/4,992 × 10⁷ = 27,83 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 27,83 MPa

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: u = 9,81 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Atsakymas

u = 9,81 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 75,07 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 16·3 + 19,5·1 + 18,5·2 = 104,5 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 104,5 − 29,43 = 75,07 kPa

Atsakymas

σ′ = 75,07 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 213,5 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 115 + 190 = 305 kPa > 175 kPa

Nuosėdis

Pakartotinis spaudimas iki σ′_p, pirminis spaudimas už jo.

S = 0,04·6/(1 + 0,9)·log₁₀(175/115) + 0,25·6/(1 + 0,9)·log₁₀(305/175)

S = 23,03 + 190,5 = 213,5 mm

Atsakymas

S = 213,5 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 0,5253 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H/2 = 4/2 = 2 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·2²/1,5 = 0,5253 metai

Atsakymas

t = 0,5253 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 88,29 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·4,5 = 88,29 kN

Atsakymas

F = 88,29 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 4,373 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·5 = 208,5 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,25 + 2,604/(4,25·5) = 4,373 m

Atsakymas

y_cp = 4,373 m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: h_f = 2,142 m

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Vidutinis greitis

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

Greitinis aukštis

V²/(2g) = 1,061²/(2·9,81) = 0,05738 m

Darsi–Veisbacho lygtis

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,3)·1,061²/(2·9,81) = 2,142 m

Atsakymas

h_f = 2,142 m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: H = 1,462 m

Greitis

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,018·300/0,3 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Energijos lygtis

Ištekanti čiurkšlė vis dar turi greitinį aukštį; tai ne nuostolis, bet jį reikia suteikti.

H = (1 + 18 + 3,4)·0,06529 = 1,462 m

Atsakymas

H = 1,462 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 76,04 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (3 + 1,5·2,4)·2,4 = 15,84 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2,4·√(1 + 1,5²) = 11,65 m

R = A/P = 1,359 m

Greitis

V = (1/0,014)·1,359^2/3·0,003^1/2 = 4,801 m/s

Debitas

Q = A·V = 15,84·4,801 = 76,04 m³/s

Atsakymas

Q = 76,04 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,001924 m/m

Hidraulinis spindulys

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1778)² = 0,001924

Atsakymas

S = 0,001924

Tai 1,924 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_el = 54,5 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·60 = 35,32 kW

Veleno galia

P_shaft = 35,32/0,72 = 49,05 kW

Elektrinė galia

P_el = 49,05/0,9 = 54,5 kW

Atsakymas

P_el = 54,5 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 6,477 kW

Greitis

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 6)·0,1469 = 4,407 m

Siurblio slėgio aukštis

H = Δz + h_L = 11 + 4,407 = 15,41 m

Veleno galia

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,03·15,41/0,7 = 6,477 kW

Atsakymas

P_shaft = 6,477 kW

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 11056 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·9 = 108

Būsimoji vertė

FV = 8 000·(1 + 0,003)¹⁰⁸ = 8 000·1,382 = €11 055,81

Atsakymas

FV = €11 055,81

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 45542 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·26 = 312

Įmokų būsimoji vertė

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(6,465 − 1)/0,006 = €45 541,85

Atsakymas

FV = €45 541,85

Patys įnešėte €15 600; likusi dalis – palūkanos.

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 5641 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 16 000/1,05 = 15 238,10

CF₂/(1 + 0,05)² = 13 000/1,103 = 11 791,38

CF₃/(1 + 0,05)³ = 14 000/1,158 = 12 093,73

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 14 000/1,216 = 11 517,83

Sudėkite

NPV = €5 641,04

Atsakymas

NPV = €5 641,04

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

28.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −22293 €

Augančio anuiteto dabartinė vertė

((1,02)/(1,08))⁷ = 0,6702

PV = 10 500/(0,08 − 0,02)·(1 − 0,6702) = 57 706,77

NPV

NPV = 57 706,77 − 80 000 = −€22 293,23

Atsakymas

NPV = −€22 293,23

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,5511

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (248,5 − 250)/5 = −0,3

z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5

Plotas tarp

P = Φ(1,5) − Φ(−0,3) = 0,9332 − 0,3821 = 0,5511

Atsakymas

P = 0,5511

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 169 cm

Procentilio z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Atgal į x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Atsakymas

x = 169,03 cm

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil