FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 2,5 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (prieš laikrodžio rodyklę), esanti 5 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją R_B, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 6 mP = 20 kN ties 2,5 mM = 10 kN·m (prieš laikrodžio rodyklę) ties 5 m

R_B = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 4,5 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 30° kampu į horizontalę, o 2,5 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite kampą α tarp suminės reakcijos jėgos šarnyre A ir horizontalės.

L = 5 mP = 60 kN ties 4,5 m, θ = 30°Q = 20 kN ties 2,5 m

α = °

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kN

F_AC = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kNhorizontalioji apkrova = 25 kN →

F_AB = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 20 kN ties 2,5 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (plienas)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 18 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 50 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 50 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

120 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 140 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mmskylės centras: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 30 MPa tempiant ir 120 MPa gniuždant. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą M_allow, kurį sija gali atlaikyti.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite porų vandens slėgį u taške X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite bendrąjį vertikalųjį įtempį σ taške X.

z = 8,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 19,5 kN/m³molis: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

5 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,5, C_r = 0,03 ir e₀ = 0,75. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 60 kPa , o perkonsolidavimo laipsnis OCR = 1,5. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 160 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 5 mC_c = 0,5C_r = 0,03e₀ = 0,75σ′₀ = 60 kPaOCR = 1,5Δσ = 160 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

6 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 4 m²/metus. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. 60% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,287. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 60% konsolidaciją?

H = 6 mc_v = 4 m²/metaiU = 60%T_v = 0,287dvipusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 1 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 3 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (jūros vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo (ρ = 1000 kg/m³) teka 3 m/s greičiu horizontaliu 150 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 300 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,028 ir g = 9,81 m/s². Raskite slėgio kritimą Δp vamzdyje, kPa.

V = 3 m/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

Du atviri rezervuarai sujungti 150 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 100 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,02. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 3 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 10) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Koks vandens lygių skirtumas Δz tarp rezervuarų užtikrina 20 L/s debitą?

Q = 20 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Trapecinio švarus gruntas kanalo dugno plotis 3,5 m, o šlaitų nuolydis 2:1 (horizontalusis:vertikalusis). Vanduo teka tolygiai 0,9 m gylyje. Manningo n = 0,022, dugno nuolydis S = 0,001. Raskite debitą Q m³/s.

b = 3,5 my = 0,9 mz = 2n = 0,022S = 0,001

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Trapecinis žvyras kanalas, kurio dugno plotis 2,5 m, o šlaitų nuolydis 1,5:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 2,4 m³/s tolygiu tekėjimu 0,5 m gylyje. Manningo n = 0,025. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 2,4 m³/sb = 2,5 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,025

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys, kurio naudingumo koeficientas 60%, tiekia 10 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 72 m slėgio aukštį. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite reikiamą veleno galią P_shaft kW.

Q = 10 L/sH = 72 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 60 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 17 m aukščiau. Vamzdis yra 200 m ilgio, jo vidinis skersmuo 200 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,018; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 8 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 60 L/sΔz = 17 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €8 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 1,5% per metus. Reikalaujama grąža 7,5% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.

C₁ = €8 000g = 1,5%r = 7,5%

PV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Pasiskolinate €5 000 esant 5,4 % metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį, ir kiekvieno mėnesio pabaigoje grąžinate €100. Per kiek mėnesių paskola bus grąžinta (paskutinė įmoka gali būti mažesnė)? Nurodykite įmokų skaičių N.

P = €5 000A = €1005,4% / 12

N = įmokos

27.NPV ir IRRVidutinis

Projektas šiandien kainuoja €400 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €43 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 3% per metus. Kapitalo kaina 12%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €43 000g = 3%r = 12%

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas šiandien kainuoja €100 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €18 000 ir auga 5 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 5-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €18 000g = 5%n = 5r = 8%

NPV = €

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,6579. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,6579

z =

30.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 6,667 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 20·2,5 + 10 = 0

R_B = 40/6 = 6,667 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 20 − 6,667 = 13,33 kN

Atsakymas

R_B = 6,667 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: α = 14,05 °

P dedamosios

P_v = 60·sin 30° = 30 kN

P_h = 60·cos 30° = 51,96 kN

Reakcijos

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·4,5 + 20·2,5 → R_B = 37 kN

A_y = 30 + 20 − 37 = 13 kN

A_x = P_h = 51,96 kN

Kryptis ties A

α = atan(A_y/A_x) = atan(13/51,96) = 14,05°

Atsakymas

α = 14,05°

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 15 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·1 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 15 = 45 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,7071 = −21,21 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−21,21)·0,7071 = 15 kN

Atsakymas

F_AC = 15 kN (tempimas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −39,53 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·1 + 25·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 22,5 = 37,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −37,5/0,9487 = −39,53 kN

Atsakymas

F_AB = −39,53 kN (gniuždymas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 15 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Perpjaukite ties x = 2,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 16·2,5 − 8·2,5·1,25 = 15 kN·m

Atsakymas

M_x = 15 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 19,5 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2,5 + 8·4·2

R_B = 114/4 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 28,5 = 23,5 kN

Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 23,5·1 − 8·1·0,5 = 19,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 19,5 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 63,49 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·8000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 63,49 mm

Atsakymas

δ_max = 63,49 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 25,26 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 18000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·4000³/(48·1,61 × 10¹²) = 14,91 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 10,35 mm

Sudėkite

δ_max = 14,91 + 10,35 = 25,26 mm

Atsakymas

δ_max = 25,26 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 34,88 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34,88 kN

Atsakymas

P_cr = 34,88 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 63,05 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 63,05 mm

Atsakymas

d = 63,05 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 222, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 78,79 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (24000·100 − 706,9·140)/(24000 − 706,9) = 98,79 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·200³/12 + 24000·1,214² = 80,04 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·30⁴/64 + 706,9·41,21² = 1,24 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 78,79 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 78,79 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: M_allow = 6,645 kN·m

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Svorio centras

ȳ = (6000·230 + 3080·110)/9080 = 189,3 mm

viršutinė kraštinė: c = 240 − 189,3 = 50,7 mm

Inercijos momentas

I = 300·20³/12 + 6000·40,7² + 14·220³/12 + 3080·79,3² = 4,193 × 10⁷ mm⁴

Kiekvienos kraštinės leidžiamas momentas

Teigiamas lenkimas: viršus gniuždomas, apačia tempiama.

viršutinė kraštinė: M = 120·4,193 × 10⁷/50,7 = 99,23 kN·m

apatinė kraštinė: M = 30·4,193 × 10⁷/189,3 = 6,645 kN·m

Lemiamoji reikšmė

M_allow = min = 6,645 kN·m (apatinė kraštinė)

Atsakymas

M_allow = 6,645 kN·m

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: u = 19,62 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Atsakymas

u = 19,62 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ = 153 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16,5·3 + 19,5·3 + 18·2,5 = 153 kPa

Atsakymas

σ = 153 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 569,6 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Prieškonsolidacinis slėgis

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·60 = 90 kPa

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 60 + 160 = 220 kPa > 90 kPa

Nuosėdis

Pakartotinis spaudimas iki σ′_p, pirminis spaudimas už jo.

S = 0,03·5/(1 + 0,75)·log₁₀(90/60) + 0,5·5/(1 + 0,75)·log₁₀(220/90)

S = 15,09 + 554,5 = 569,6 mm

Atsakymas

S = 569,6 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 0,6458 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H/2 = 6/2 = 3 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·3²/4 = 0,6458 metai

Atsakymas

t = 0,6458 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 24,52 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1 = 24,52 kN

Atsakymas

F = 24,52 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 75,41 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·3 = 75,41 kN

Atsakymas

F = 75,41 kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δp = 63 kPa

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Slėgio aukščio nuostoliai

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(150/0,3)·3²/(2·9,81) = 6,422 m

Slėgio kritimas

Vamzdis horizontalus, o greitis nekinta, todėl energijos lygtis supaprastėja iki Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·6,422 = 63000 Pa = 63 kPa

Atsakymas

Δp = 63 kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δz = 14,01 m

Greitis

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,02·150/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Bendri slėgio aukščio nuostoliai

h_f = 30·0,3305 = 9,915 m

h_m = 12,4·0,3305 = 4,098 m

Δz = h_f + h_m = 14,01 m

Atsakymas

Δz = 14,01 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 5,059 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 2·0,9)·0,9 = 4,77 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,9·√(1 + 2²) = 7,525 m

R = A/P = 0,6339 m

Greitis

V = (1/0,022)·0,6339^2/3·0,001^1/2 = 1,061 m/s

Debitas

Q = A·V = 4,77·1,061 = 5,059 m³/s

Atsakymas

Q = 5,059 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,004994 m/m

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·0,5)·0,5 = 1,625 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 4,303 m

R = A/P = 0,3777 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·2,4/(1,625·0,5225) = 0,07067

S = 0,07067² = 0,004994

Atsakymas

S = 0,004994

Tai 4,994 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 11,77 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·72 = 7,063 kW

Veleno galia

P_shaft = P_h/η = 7,063/0,6 = 11,77 kW

Atsakymas

P_shaft = 11,77 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 21,83 m

Greitis

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 8)·0,1859 = 4,834 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai atviri ir praktiškai nejuda, todėl slėgio ir greičio nariai išnyksta.

H = Δz + h_L = 17 + 4,834 = 21,83 m

Atsakymas

H = 21,83 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 133333 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Auganti amžinoji renta

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,075 − 0,015) = 8 000/0,06 = €133 333,33

Atsakymas

PV = €133 333,33

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: N = 57 įmokos

Pertvarkykite anuiteto formulę

i = 0,0045

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,0045/100 = 0,775

Spręskite logaritmais

N = −ln(0,775)/ln(1,004) = 56,77

Apvalinkite į didesnę pusę iki sveikų įmokų

Po 56 pilnų įmokų lieka nedidelis likutis, kurį padengia paskutinė, mažesnė įmoka.

N = 57

Atsakymas

N = 57 įmokos

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 77778 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Pinigų srautų vertė

PV = 43 000/(0,12 − 0,03) = 477 777,78

NPV

NPV = 477 777,78 − 400 000 = €77 777,78

Atsakymas

NPV = €77 777,78

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

28.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −21169 €

Augančio anuiteto dabartinė vertė

((1,05)/(1,08))⁵ = 0,8686

PV = 18 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,8686) = 78 830,53

NPV

NPV = 78 830,53 − 100 000 = −€21 169,47

Atsakymas

NPV = −€21 169,47

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,95

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,6579)/2 = 0,8289

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8289 ir nuskaitykite z.

z = 0,95

Atsakymas

z = 0,95

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 473 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Atgal į x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

Atsakymas

x = 473,02 h

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil