FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, mažėjanti nuo 8 kN/m ties A iki nulio ties B. 7 m atstumu nuo A dar veikia sutelktoji jėga P. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 8 mw₀ = 8 kN/mP = 80 kN ties 7 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi 4 kN/m ir mažėja iki nulio laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 4 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 4 mw₀ = 4 kN/mP = 70 kN ties 4 m

M_A = kN·m

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 10 kN

F_BC = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 10 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN ←

F_AC = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_A įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 3 mP = 60 kN ties 1 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 3 m

M_A = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 4 mP = 75 kN ties 3 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 4 m

M_max = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta dviem vienodomis sutelktosiomis jėgomis P trečdalio taškuose (L/3 nuo kiekvienos atramos). Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį tarpatramio viduryje δ_max.

P = 5 kNL = 6 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 25 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 25 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 15 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmM = 15 kN·m

σ_viršus = MPa

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15 kN/m³smėlis: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite bendrąjį vertikalųjį įtempį σ taške X.

z = 9 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 18,5 kN/m³molis: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

2 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,25, C_r = 0,06 ir e₀ = 0,7. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 100 kPa , o perkonsolidavimo laipsnis OCR = 1,5. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 30 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 2 mC_c = 0,25C_r = 0,06e₀ = 0,7σ′₀ = 100 kPaOCR = 1,5Δσ = 30 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

6 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 0,5 m²/metus. Jis slūgso ant nelaidžios uolienos, virš jo – smėlis, todėl vanduo išteka tik viršuje. 70% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,403. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 70% konsolidaciją?

H = 6 mc_v = 0,5 m²/metaiU = 70%T_v = 0,403vienpusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 1,5 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 4 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 4 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 1 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (glicerinas) sienoje, jos viršutinis kraštas 2,5 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo 0,8 m/s vidutiniu greičiu teka 50 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 100 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,028 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius h_f.

V = 0,8 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

Du atviri rezervuarai sujungti 100 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 150 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015. Viršutinio rezervuaro vandens paviršius yra 21 m aukščiau nei žemutinio. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 4 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 2) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite debitą Q L/s.

Δz = 21 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Stačiakampis plytų mūras kanalas yra 3 m pločio. Vanduo teka tolygiai 2,3 m gylyje. Manningo n = 0,015, dugno nuolydis S = 0,001. Raskite debitą Q m³/s.

b = 3 my = 2,3 mn = 0,015S = 0,001

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Trapecinis plytų mūras kanalas, kurio dugno plotis 6 m, o šlaitų nuolydis 2:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 46 m³/s tolygiu tekėjimu 1,9 m gylyje. Manningo n = 0,015. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 46 m³/sb = 6 my = 1,9 mz = 2n = 0,015

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys, kurio naudingumo koeficientas 80%, tiekia 60 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 54 m slėgio aukštį. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite reikiamą veleno galią P_shaft kW.

Q = 60 L/sH = 54 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 40 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 6 m aukščiau. Vamzdis yra 150 m ilgio, jo vidinis skersmuo 150 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 2,5 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Viršutinis bakas uždaras, o oro virš vandens manometrinis slėgis yra 250 kPa. Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 2,5p_tank = 250 kPa

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Anuitetas 13 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €5 000. Palūkanų norma 6% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.

A = €5 000i = 6%n = 13

PV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Kiekvieno mėnesio pabaigoje 23 metus atidedate €150. Sąskaita moka 3 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.

A = €1503% / 12N = 276

FV = €

27.NPV ir IRRVidutinis

€45 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €15 000, €11 000, €12 000. Kapitalo kaina – 15 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 15%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 11 000CF₃ = 12 000

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas A kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €22 000, €16 000, €9 000. Projektas B kainuoja €45 000 ir grąžina po €12 500, €17 500, €24 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.

A: −40 000, 22 000, 16 000, 9 000B: −45 000, 12 500, 17 500, 24 500

r* = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 62,5 ir 85 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 65σ = 10x₁ = 62,5x₂ = 85

P =

30.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 75 % reikšmių (75-asis procentilis).

μ = 100σ = 15P = 75%

x = tšk.

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 31,33 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·8·8 = 32 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 32·2,667 + 80·7

R_B = 80,67 kN

R_A = 112 − 80,67 = 31,33 kN

Atsakymas

R_A = 31,33 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 290,7 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·4·4 = 8 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = W·x̄ + P·a = 8·1,333 + 70·4 = 290,7 kN·m

Atsakymas

M_A = 290,7 kN·m

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −2,828 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·1 → C_y = 2 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2 = 8 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2/0,7071 = −2,828 kN

Atsakymas

F_BC = −2,828 kN (gniuždymas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = −8,75 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 − 15·3 → C_y = −8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −8,75 = 18,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−8,75/0,7071 = 12,37 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(12,37)·0,7071 = −8,75 kN

Atsakymas

F_AC = −8,75 kN (gniuždymas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_A = −73,5 kN·m

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −60·1 = −60 kN·m

w: −3·3²/2 = −13,5 kN·m

M_A = −60 − 13,5 = −73,5 kN·m

Atsakymas

M_A = −73,5 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 65,25 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·3 + 6·4·2

R_B = 273/4 = 68,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 99 − 68,25 = 30,75 kN

Kur V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 12,75 kN

V(3⁺) = 12,75 − 75 = −62,25 kN

Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.

Didžiausias momentas

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 30,75·3 − 6·3²/2 = 65,25 kN·m

Atsakymas

M_max = 65,25 kN·m

Tai yra taške x = 3 m nuo A.

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 5,424 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 5,424 mm

Atsakymas

δ = 5,424 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 22,55 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 5000 N, L = 6000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Viena apkrova taške L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 11,27 mm

Sudėkite abi apkrovas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 22,55 mm

Atsakymas

δ_max = 22,55 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 11,07 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/700² = 11074 N = 11,07 kN

Atsakymas

P_cr = 11,07 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 38,56 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 38,56 mm

Atsakymas

d = 38,56 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 103,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 44,35 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

sienelė: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·247,5 + 4800·120)/6600 = 154,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 120·15³/12 + 1800·(247,5 − 154,8)² = 1,551 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 20·240³/12 + 4800·(120 − 154,8)² = 2,884 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,551 × 10⁷ + 2,884 × 10⁷ = 4,435 × 10⁷ mm⁴ = 44,35 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 44,35 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 21,39 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

sienelė: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·250 + 3840·120)/7840 = 186,3 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 200·20³/12 + 4000·(250 − 186,3)² = 1,635 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 16·240³/12 + 3840·(120 − 186,3)² = 3,532 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,635 × 10⁷ + 3,532 × 10⁷ = 5,168 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 260 − 186,3 = 73,67 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·73,67/5,168 × 10⁷ = 21,39 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 21,39 MPa

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 62,38 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·3 + 18,5·2 = 82 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 82 − 19,62 = 62,38 kPa

Atsakymas

σ′ = 62,38 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ = 158 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·5 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 16,5·5 + 18,5·1 + 19·3 = 158 kPa

Atsakymas

σ = 158 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 8,043 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Prieškonsolidacinis slėgis

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·100 = 150 kPa

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 100 + 30 = 130 kPa ≤ 150 kPa

Nuosėdis

Molis lieka ant pakartotinio spaudimo tiesės.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·2/(1 + 0,7)·log₁₀(130/100) = 8,043 mm

Atsakymas

S = 8,043 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 29,02 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H = 6 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·6²/0,5 = 29,02 metai

Atsakymas

t = 29,02 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 66,22 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1,5 = 66,22 kN

Atsakymas

F = 66,22 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 4,188 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4·3 = 148,3 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 2,25/(4·3) = 4,188 m

Atsakymas

y_cp = 4,188 m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: h_f = 0,4567 m

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Greitinis aukštis

V²/(2g) = 0,8²/(2·9,81) = 0,03262 m

Darsi–Veisbacho lygtis

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,1)·0,8²/(2·9,81) = 0,4567 m

Atsakymas

h_f = 0,4567 m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Q = 93,56 L/s

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,015·100/0,15 = 10

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Energijos lygtis

Abu paviršiai atviri orui ir praktiškai nejuda, todėl visas Δz prarandamas vamzdyje.

21 = (10 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·21/14,7) = 5,294 m/s

Debitas

Q = V·π·D²/4 = 5,294·0,01767 = 0,09356 m³/s = 93,56 L/s

Atsakymas

Q = 93,56 L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 13,64 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = b·y = 3·2,3 = 6,9 m²

P = b + 2y = 3 + 2·2,3 = 7,6 m

R = A/P = 0,9079 m

Greitis

V = (1/0,015)·0,9079^2/3·0,001^1/2 = 1,977 m/s

Debitas

Q = A·V = 6,9·1,977 = 13,64 m³/s

Atsakymas

Q = 13,64 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,0009836 m/m

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (6 + 2·1,9)·1,9 = 18,62 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,9·√(1 + 2²) = 14,5 m

R = A/P = 1,284 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·46/(18,62·1,182) = 0,03136

S = 0,03136² = 0,0009836

Atsakymas

S = 0,0009836

Tai 0,9836 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 39,73 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·54 = 31,78 kW

Veleno galia

P_shaft = P_h/η = 31,78/0,8 = 39,73 kW

Atsakymas

P_shaft = 39,73 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 36,05 m

Greitis

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 2,5)·0,2611 = 4,57 m

Pjezometrinis aukštis

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai praktiškai nejuda, todėl greitinio aukščio nario nėra.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 25,48 + 4,57 = 36,05 m

Atsakymas

H = 36,05 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 44263 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Anuiteto koeficientas

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,4688)/0,06 = 8,853

Dabartinė vertė

PV = 5 000·8,853 = €44 263,41

Atsakymas

PV = €44 263,41

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 59520 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·23 = 276

Įmokų būsimoji vertė

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1,992 − 1)/0,0025 = €59 519,97

Atsakymas

FV = €59 519,97

Patys įnešėte €41 400; likusi dalis – palūkanos.

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −15749 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 15 000/1,15 = 13 043,48

CF₂/(1 + 0,15)² = 11 000/1,322 = 8 317,58

CF₃/(1 + 0,15)³ = 12 000/1,521 = 7 890,19

Sudėkite

NPV = €−15 748,75

Atsakymas

NPV = €−15 748,75

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

28.NPV ir IRR

Atsakymas: r* = 7,286 %

Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.

Pinigų srautų skirtumas

ΔCF₀ = −45 000 − (−40 000) = −5 000

ΔCF₁ = 12 500 − 22 000 = −9 500

ΔCF₂ = 17 500 − 16 000 = 1 500

ΔCF₃ = 24 500 − 9 000 = 15 500

Skirtumo IRR

NPV_Δ(7%) = 84,27

NPV_Δ(8%) = −205,89

r* = 7,286%

Atsakymas

r* = 7,286%

Patikra: esant 7,286%, abi NPV lygios €1 694,53.

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,576

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (62,5 − 65)/10 = −0,25

z₂ = (85 − 65)/10 = 2

Plotas tarp

P = Φ(2) − Φ(−0,25) = 0,9772 − 0,4013 = 0,576

Atsakymas

P = 0,576

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 110,1 tšk.

Procentilio z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Atgal į x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 tšk.

Atsakymas

x = 110,12 tšk.

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil