FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, mažėjanti nuo 20 kN/m ties A iki nulio ties B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 5 mw₀ = 20 kN/m

R_B = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 6 mP = 60 kN ties 4,5 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 1 m

R_B = kN

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

F: 35 kN ↓G: 20 kN ↓H: 40 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 10 kN ↓D: 25 kN ↓F: 20 kN ↓G: 35 kN ↓H: 25 kN ←

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 0,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 4 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 15 kN ties 5 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 28 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 23 kNw = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (plienas)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 50 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmM = 50 kN·m

σ_apačia = MPa

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16 kN/m³smėlis: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 6,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16 kN/m³smėlis: γ_sat = 20 kN/m³molis: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

8 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,3, C_r = 0,05 ir e₀ = 1,2. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 55 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 115 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 10 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 8 mC_c = 0,3C_r = 0,05e₀ = 1,2σ′₀ = 55 kPaσ′_p = 115 kPaΔσ = 10 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

5 m storio molio sluoksnio konsolidacijos koeficientas c_v = 2,5 m²/metus. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. 60% vidutinei konsolidacijai laiko faktorius T_v = 0,287. Per kiek metų t sluoksnis pasieks 60% konsolidaciją?

H = 5 mc_v = 2,5 m²/metaiU = 60%T_v = 0,287dvipusis drenavimas

t = metai

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 1,5 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 0,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo (ρ = 1000 kg/m³) teka 3 m/s greičiu horizontaliu 800 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 50 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,018 ir g = 9,81 m/s². Raskite slėgio kritimą Δp vamzdyje, kPa.

V = 3 m/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

Du atviri rezervuarai sujungti 300 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 250 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015. Viršutinio rezervuaro vandens paviršius yra 19 m aukščiau nei žemutinio. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 2 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 0,2) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite debitą Q L/s.

Δz = 19 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Trapecinio plytų mūras kanalo dugno plotis 2,5 m, o šlaitų nuolydis 2:1 (horizontalusis:vertikalusis). Vanduo teka tolygiai 0,6 m gylyje. Manningo n = 0,015, dugno nuolydis S = 0,002. Raskite debitą Q m³/s.

b = 2,5 my = 0,6 mz = 2n = 0,015S = 0,002

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Betoninis nuotekų kolektorius, kurio vidinis skersmuo 200 mm (Manningo n = 0,013), tekėdamas vos pilnas turi pasiekti 0,75 m/s savaiminio išsivalymo greitį. Raskite mažiausią nuolydį S (m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys tiekia 20 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 56 m slėgio aukštį. Siurblio naudingumo koeficientas 72%, o jį sukančio elektros variklio – 94%. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite variklio naudojamą elektrinę galią P_el kW.

Q = 20 L/sH = 56 mη_pump = 72%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 120 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 10 m aukščiau. Vamzdis yra 200 m ilgio, jo vidinis skersmuo 250 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,025; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 5 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Siurblio naudingumo koeficientas 70%. Raskite veleno galią P_shaft kW.

Q = 120 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 5η = 70%

P_shaft = kW

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Investuojate €5 000 esant 7% metinei normai su tolydžiuoju kapitalizavimu. Raskite vertę FV po 5 metų.

PV = €5 000r = 7%t = 5

FV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

€25 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 3 metus. Palūkanų norma – 3 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.

P = €25 0003% / 12N = 36

A = €

27.NPV ir IRRVidutinis

Mašina šiandien kainuoja €50 000. Kiekvienų metų pabaigoje 7 metų ji generuoja €9 000, o po to gali būti parduota už €12 500. Kapitalo kaina 6%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €50 000CF = €9 000S = €12 500n = 7r = 6%

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas A kainuoja €20 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €11 000, €8 000, €4 500. Projektas B kainuoja €22 000 ir grąžina po €5 500, €9 500, €11 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.

A: −20 000, 11 000, 8 000, 4 500B: −22 000, 5 500, 9 500, 11 500

r* = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,6680. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,6680

z =

30.Normalusis skirstinysSunkus

suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 90 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 16,67 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·20·5 = 50 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,667

R_B = 16,67 kN

R_A = 50 − 16,67 = 33,33 kN

Atsakymas

R_B = 16,67 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 45,83 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, veikianti taške x̄ = 0,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·4,5 + 10·1·0,5

R_B = 275/6 = 45,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 45,83 = 24,17 kN

Atsakymas

R_B = 45,83 kN

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 46,25 kN (T), BC: 57,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 48,75 kN (T), FG: 46,25 kN (C), GH: 48,75 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 68,94 kN (C), BF: 11,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 15,91 kN (C), DG: 12,37 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 15,94 kN (T), BC: 34,37 kN (T), CD: 34,37 kN (T), DE: 26,56 kN (T), FG: 40,94 kN (C), GH: 51,56 kN (C), AF: 68,23 kN (C), HE: 44,27 kN (C), BF: 34,58 kN (T), CG: 0, DH: 35,42 kN (T), BG: 30,73 kN (C), DG: 13,02 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 4,125 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Perpjaukite ties x = 0,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 9·0,5 − 3·0,5·0,25 = 4,125 kN·m

Atsakymas

M_x = 4,125 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 26 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·5 + 4·6·3

R_B = 147/6 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 24,5 = 14,5 kN

Perpjaukite ties x = 4 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 14,5·4 − 4·4·2 = 26 kN·m

Atsakymas

M_x = 26 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 2,1 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 28000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·2000²·3000²/(3·3,2 × 10¹³·5000) = 2,1 mm

Atsakymas

δ_P = 2,1 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 37,17 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 23000 N, w = 4 N/mm, L = 6000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 23000·6000³/(48·4,6 × 10¹²) = 22,5 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 14,67 mm

Sudėkite

δ_max = 22,5 + 14,67 = 37,17 mm

Atsakymas

δ_max = 37,17 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 12,03 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1750² = 12032 N = 12,03 kN

Atsakymas

P_cr = 12,03 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 55,08 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12,5 = 112

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55,08 MPa

Atsakymas

σ_cr = 55,08 MPa

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 11,48 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

sienelė: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·130 + 2400·60)/8400 = 110 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·20³/12 + 6000·(130 − 110)² = 2,6 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 20·120³/12 + 2400·(60 − 110)² = 8,88 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,6 × 10⁶ + 8,88 × 10⁶ = 1,148 × 10⁷ mm⁴ = 11,48 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 11,48 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 136,8 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

sienelė: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·287,5 + 4480·140)/8980 = 213,9 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·15³/12 + 4500·(287,5 − 213,9)² = 2,445 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 16·280³/12 + 4480·(140 − 213,9)² = 5,374 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,445 × 10⁷ + 5,374 × 10⁷ = 7,82 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 213,9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·213,9/7,82 × 10⁷ = 136,8 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 136,8 MPa

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 74,19 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 20·1 = 84 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 84 − 9,81 = 74,19 kPa

Atsakymas

σ′ = 74,19 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 65,04 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16·1 + 20·2 + 18·3,5 = 119 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 119 − 53,96 = 65,04 kPa

Atsakymas

σ′ = 65,04 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 13,19 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 55 + 10 = 65 kPa ≤ 115 kPa

Nuosėdis

Molis lieka ant pakartotinio spaudimo tiesės.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·8/(1 + 1,2)·log₁₀(65/55) = 13,19 mm

Atsakymas

S = 13,19 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 0,7175 metai

Drenavimo kelias

H_dr = H/2 = 5/2 = 2,5 m

Laikas

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·2,5²/2,5 = 0,7175 metai

Atsakymas

t = 0,7175 metai

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 14,71 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·1,5 = 14,71 kN

Atsakymas

F = 14,71 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 2,533 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,1667/(2,5·2) = 2,533 m

Atsakymas

y_cp = 2,533 m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δp = 1296 kPa

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Slėgio aukščio nuostoliai

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,05)·3²/(2·9,81) = 132,1 m

Slėgio kritimas

Vamzdis horizontalus, o greitis nekinta, todėl energijos lygtis supaprastėja iki Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·132,1 = 1,296 × 10⁶ Pa = 1296 kPa

Atsakymas

Δp = 1296 kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Q = 210,4 L/s

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,015·300/0,25 = 18

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Energijos lygtis

Abu paviršiai atviri orui ir praktiškai nejuda, todėl visas Δz prarandamas vamzdyje.

19 = (18 + 2,3)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·19/20,3) = 4,285 m/s

Debitas

Q = V·π·D²/4 = 4,285·0,04909 = 0,2104 m³/s = 210,4 L/s

Atsakymas

Q = 210,4 L/s

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 3,761 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·0,6)·0,6 = 2,22 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,6·√(1 + 2²) = 5,183 m

R = A/P = 0,4283 m

Greitis

V = (1/0,015)·0,4283^2/3·0,002^1/2 = 1,694 m/s

Debitas

Q = A·V = 2,22·1,694 = 3,761 m³/s

Atsakymas

Q = 3,761 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,005161 m/m

Hidraulinis spindulys

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,1357)² = 0,005161

Atsakymas

S = 0,005161

Tai 5,161 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_el = 16,23 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·56 = 10,99 kW

Veleno galia

P_shaft = 10,99/0,72 = 15,26 kW

Elektrinė galia

P_el = 15,26/0,94 = 16,23 kW

Atsakymas

P_el = 16,23 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 29,62 kW

Greitis

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0,3046 = 7,615 m

Siurblio slėgio aukštis

H = Δz + h_L = 10 + 7,615 = 17,61 m

Veleno galia

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·17,61/0,7 = 29,62 kW

Atsakymas

P_shaft = 29,62 kW

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 7095 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Laipsnio rodiklis

r·t = 0,07·5 = 0,35

e^0,35 = 1,419

Būsimoji vertė

FV = 5 000·1,419 = €7 095,34

Atsakymas

FV = €7 095,34

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: A = 727 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·3 = 36

Įmoka

N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.

(1 + i)^−N = 0,914

A = 25 000·0,0025/(1 − 0,914) = €727,03

Atsakymas

A = €727,03

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 8555 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Metinių pinigų srautų dabartinė vertė

9 000·5,582 = 50 241,43

Likvidacinės vertės dabartinė vertė

12 500/1,504 = 8 313,21

NPV

NPV = −50 000 + 50 241,43 + 8 313,21 = €8 554,65

Atsakymas

NPV = €8 554,65

28.NPV ir IRR

Atsakymas: r* = 6,166 %

Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.

Pinigų srautų skirtumas

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 5 500 − 11 000 = −5 500

ΔCF₂ = 9 500 − 8 000 = 1 500

ΔCF₃ = 11 500 − 4 500 = 7 000

Skirtumo IRR

NPV_Δ(6%) = 23,65

NPV_Δ(7%) = −115,94

r* = 6,166%

Atsakymas

r* = 6,166%

Patikra: esant 6,166%, abi NPV lygios €1 219,29.

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,97

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,6680)/2 = 0,8340

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8340 ir nuskaitykite z.

z = 0,97

Atsakymas

z = 0,97

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 187 cm

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,9

z iš lentelės

z ≈ 1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Atsakymas

x = 187 cm

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil