FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 5 mP₁ = 55 kN ties 2 mP₂ = 55 kN ties 3,5 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi 4 kN/m ir mažėja iki nulio laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 6 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 75 kN ties 6 m

M_A = kN·m

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 20 kN ↓D: 10 kN ↓H: 30 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 4 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 45 kNhorizontalioji apkrova = 20 kN ←

F_AC = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P₁ tarp atramų ir sutelktoji jėga P₂ taške C. Raskite skersinę jėgą V_x iš karto kairiau atramos B. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 7,5 mP₁ = 45 kN ties 1 mP₂ = 40 kN ties 7,5 matramos ties x = 0 ir x = 6 m

V_x = kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 30 kN ties 3 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 5 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 110 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 110 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Apvalaus vamzdžio išorinis skersmuo D = 220 mm, vidinis skersmuo d = 192 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.

D = 220 mmd = 192 mm

r = mm

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

200 mm × 150 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 80 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 105 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 150 mmiškirpimas: 80 × 20 mmskylės centras: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite bendrąjį vertikalųjį įtempį σ taške X.

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 19,5 kN/m³molis: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

4 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,5, C_r = 0,06 ir e₀ = 1,15. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 80 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 140 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 40 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 4 mC_c = 0,5C_r = 0,06e₀ = 1,15σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 40 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

Laboratoriniame odometriniame bandyme 20 mm storio molio bandinys, drenuojamas viršuje ir apačioje, 50% konsolidaciją pasiekia per 4 min. Natūroje tas pats molis sudaro 9 m storio sluoksnį. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. Per kiek dienų t natūrinis sluoksnis pasieks 50% konsolidaciją?

h_lab = 20 mmt_lab = 4 minH = 9 mnatūroje: dvipusis drenavimas

t = dienos

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 1,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (jūros vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo 75 L/s debitu teka 300 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 300 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,015 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius h_f.

Q = 75 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

Du atviri rezervuarai sujungti 100 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 300 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,025. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 4 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 10) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Koks vandens lygių skirtumas Δz tarp rezervuarų užtikrina 150 L/s debitą?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Trapecinio velėna išklotas gruntas kanalo dugno plotis 4 m, o šlaitų nuolydis 1:1 (horizontalusis:vertikalusis). Vanduo teka tolygiai 0,5 m gylyje. Manningo n = 0,03, dugno nuolydis S = 0,003. Raskite debitą Q m³/s.

b = 4 my = 0,5 mz = 1n = 0,03S = 0,003

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Betoninis nuotekų kolektorius, kurio vidinis skersmuo 600 mm (Manningo n = 0,013), tekėdamas vos pilnas turi pasiekti 0,6 m/s savaiminio išsivalymo greitį. Raskite mažiausią nuolydį S (m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys tiekia 25 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 22 m slėgio aukštį. Siurblio naudingumo koeficientas 60%, o jį sukančio elektros variklio – 95%. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite variklio naudojamą elektrinę galią P_el kW.

Q = 25 L/sH = 22 mη_pump = 60%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 80 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 14 m aukščiau. Vamzdis yra 600 m ilgio, jo vidinis skersmuo 250 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,018; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 8 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Viršutinis bakas uždaras, o oro virš vandens manometrinis slėgis yra 300 kPa. Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 80 L/sΔz = 14 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Po 9 metų jums reikės €15 000. Sąskaita moka 5 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.

FV = €15 0005% / 4n = 9

PV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Po 13 metų norite turėti €25 000. Kiekvieno mėnesio pabaigoje atidedate tą pačią sumą į sąskaitą, kuri moka 4,8% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite mėnesio įnašą A.

FV = €25 0004,8% / 12N = 156

A = €

27.NPV ir IRRVidutinis

Projektas šiandien kainuoja €200 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €18 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 4% per metus. Kapitalo kaina 12%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €18 000g = 4%r = 12%

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €25 000 ir 1–4 metų pabaigoje grąžina po €14 500, €7 500, €8 500, €7 500. Pinigų srautus galima reinvestuoti 6 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 7 500CF₃ = 8 500CF₄ = 7 500

MIRR = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,8690. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,8690

z =

30.Normalusis skirstinysSunkus

egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 30 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.30%

x = tšk.

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 49,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·2 + 55·3,5

R_B = 302,5/5 = 60,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 60,5 = 49,5 kN

Atsakymas

R_A = 49,5 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 492,7 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = W·x̄ + P·a = 16·2,667 + 75·6 = 492,7 kN·m

Atsakymas

M_A = 492,7 kN·m

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 25 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 25 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 35,36 kN (C), HE: 49,5 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 7,071 kN (C), DG: 7,071 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 8,594 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·3 − 20·4 → C_y = 6,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 6,875 = 38,13 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6,875/0,6247 = −11,01 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11,01)·0,7809 = 8,594 kN

Atsakymas

F_AC = 8,594 kN (tempimas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = −17,5 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1 + 40·7,5

R_B = 345/6 = 57,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 57,5 = 27,5 kN

Pjūvis iš karto kairiau B, paliekama kairioji dalis

V_x = R_A − P₁ = 27,5 − 45 = −17,5 kN

Atsakymas

V_x = −17,5 kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 37,5 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·3 + 10·4·2

R_B = 170/4 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 42,5 = 27,5 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 27,5·3 − 10·3·1,5 = 37,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 37,5 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 36,2 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 5000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(3EI) = 5000·3000³/(3·4,6 × 10¹²) = 9,783 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 26,41 mm

Sudėkite

δ = 9,783 + 26,41 = 36,2 mm

Atsakymas

δ = 36,2 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·2500⁴/(384·11000·6,944) = 1,332 × 10⁷ mm⁴

I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 65,28 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/1050² = 65275 N = 65,28 kN

Atsakymas

P_cr = 65,28 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 47,54 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·110000 = 220000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 47,54 mm

Atsakymas

d = 47,54 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 126,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: r = 73 mm

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.

Grynasis plotas ir inercijos momentas

A = π(D² − d²)/4 = 9060 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4,828 × 10⁷ mm⁴

Inercijos spindulys

r = √(I/A) = √(4,828 × 10⁷/9060) = 73 mm

Atsakymas

r = 73 mm

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 54,68 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (30000·75 − 1600·105)/(30000 − 1600) = 73,31 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·150³/12 + 30000·1,69² = 56,34 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

80·20³/12 + 1600·31,69² = 1,66 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 54,68 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 54,68 × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 104,8 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·4 + 20,5·4 = 144 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 144 − 39,24 = 104,8 kPa

Atsakymas

σ′ = 104,8 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ = 110 kPa

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 16,5·2 + 19,5·2 + 19·2 = 110 kPa

Atsakymas

σ = 110 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 19,66 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 80 + 40 = 120 kPa ≤ 140 kPa

Nuosėdis

Molis lieka ant pakartotinio spaudimo tiesės.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·4/(1 + 1,15)·log₁₀(120/80) = 19,66 mm

Atsakymas

S = 19,66 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 562,5 dienos

Drenavimo keliai

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 9/2 = 4,5 m

Perskaičiuokite laiką

t = T_v·H_dr²/c_v, kai T_v ir c_v laboratorijoje ir natūroje vienodi.

t_field = 4·(4,5/0,01)² = 810000 min

t_field = 810000/1440 = 562,5 dienos

Atsakymas

t = 562,5 dienos

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 39,24 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN

Atsakymas

F = 39,24 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 3,111 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3·4 = 120,7 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 1,333/(3·4) = 3,111 m

Atsakymas

y_cp = 3,111 m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: h_f = 0,8607 m

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Vidutinis greitis

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

Greitinis aukštis

V²/(2g) = 1,061²/(2·9,81) = 0,05738 m

Darsi–Veisbacho lygtis

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,3)·1,061²/(2·9,81) = 0,8607 m

Atsakymas

h_f = 0,8607 m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δz = 4,828 m

Greitis

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Bendri slėgio aukščio nuostoliai

h_f = 8,333·0,2295 = 1,913 m

h_m = 12,7·0,2295 = 2,915 m

Δz = h_f + h_m = 4,828 m

Atsakymas

Δz = 4,828 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 2,288 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·0,5)·0,5 = 2,25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0,5·√(1 + 1²) = 5,414 m

R = A/P = 0,4156 m

Greitis

V = (1/0,03)·0,4156^2/3·0,003^1/2 = 1,017 m/s

Debitas

Q = A·V = 2,25·1,017 = 2,288 m³/s

Atsakymas

Q = 2,288 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,0007634 m/m

Hidraulinis spindulys

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,2823)² = 0,0007634

Atsakymas

S = 0,0007634

Tai 0,7634 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_el = 9,466 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·22 = 5,396 kW

Veleno galia

P_shaft = 5,396/0,6 = 8,993 kW

Elektrinė galia

P_el = 8,993/0,95 = 9,466 kW

Atsakymas

P_el = 9,466 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 51,51 m

Greitis

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (43,2 + 8)·0,1354 = 6,931 m

Pjezometrinis aukštis

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai praktiškai nejuda, todėl greitinio aukščio nario nėra.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 14 + 30,58 + 6,931 = 51,51 m

Atsakymas

H = 51,51 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 9591 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·9 = 36

Dabartinė vertė

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,564 = €9 591,14

Atsakymas

PV = €9 591,14

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: A = 115,7 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·13 = 156

Įnašas

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,004/(1,864 − 1) = €115,73

Atsakymas

A = €115,73

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 25000 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Pinigų srautų vertė

PV = 18 000/(0,12 − 0,04) = 225 000,00

NPV

NPV = 225 000,00 − 200 000 = €25 000,00

Atsakymas

NPV = €25 000,00

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

28.NPV ir IRR

Atsakymas: MIRR = 13,99 %

Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Įplaukų galinė vertė

14 500·1,06³ = 17 269,73

7 500·1,06² = 8 427,00

8 500·1,06¹ = 9 010,00

7 500·1,06⁰ = 7 500,00

TV = 42 206,73

MIRR

MIRR = (42 206,73/25 000)^1/4 − 1 = 13,99%

Atsakymas

MIRR = 13,99%

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,51

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,8690)/2 = 0,9345

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9345 ir nuskaitykite z.

z = 1,51

Atsakymas

z = 1,51

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 59,8 tšk.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,3

z iš lentelės

z ≈ −0,52

Atgal į pradinius vienetus

x = 65 − 0,52·10 = 59,8 tšk.

Atsakymas

x = 59,8 tšk.

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil