FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 6 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (prieš laikrodžio rodyklę), esanti 5 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją R_A, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 8 mP = 15 kN ties 6 mM = 25 kN·m (prieš laikrodžio rodyklę) ties 5 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi 10 kN/m ir mažėja iki nulio laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 8 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 10 mw₀ = 10 kN/mP = 55 kN ties 8 m

M_A = kN·m

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 40 kN ↓C: 20 kN ↓G: 35 kN ↓H: 20 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 4 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kNhorizontalioji apkrova = 10 kN →

F_AB = kN

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 2 m

V_x = kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

30 kN @ 0 m20 kN @ 6 m60 kN @ 3 m15 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θ_A ties atrama A, radianais.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 75 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 1,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 75 mm

h_req = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 65 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 65 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

120 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 40 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 105 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 300 mmiškirpimas: 40 × 20 mmskylės centras: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite bendrąjį vertikalųjį įtempį σ taške X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 16 kN/m³smėlis: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite porų vandens slėgį u taške X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15 kN/m³smėlis: γ_sat = 19,5 kN/m³molis: γ_sat = 17,5 kN/m³

u = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

6 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,5, C_r = 0,05 ir e₀ = 1,1. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 105 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 225 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 190 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 6 mC_c = 0,5C_r = 0,05e₀ = 1,1σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 225 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

Laboratoriniame odometriniame bandyme 19 mm storio molio bandinys, drenuojamas viršuje ir apačioje, 50% konsolidaciją pasiekia per 4 min. Natūroje tas pats molis sudaro 5,5 m storio sluoksnį. Jis slūgso ant nelaidžios uolienos, virš jo – smėlis, todėl vanduo išteka tik viršuje. Per kiek dienų t natūrinis sluoksnis pasieks 50% konsolidaciją?

h_lab = 19 mmt_lab = 4 minH = 5,5 mnatūroje: vienpusis drenavimas

t = dienos

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 1 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 1,5 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (jūros vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 4 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 4 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo 50 L/s debitu teka 300 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 300 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,02 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius h_f.

Q = 50 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

Du atviri rezervuarai sujungti 100 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 300 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,018. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 4 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 2) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Koks vandens lygių skirtumas Δz tarp rezervuarų užtikrina 120 L/s debitą?

Q = 120 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Stačiakampis lygintas betonas kanalas yra 5,5 m pločio. Vanduo teka tolygiai 1,6 m gylyje. Manningo n = 0,012, dugno nuolydis S = 0,003. Raskite debitą Q m³/s.

b = 5,5 my = 1,6 mn = 0,012S = 0,003

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Trapecinis lygintas betonas kanalas, kurio dugno plotis 4 m, o šlaitų nuolydis 1:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 12 m³/s tolygiu tekėjimu 0,7 m gylyje. Manningo n = 0,012. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 12 m³/sb = 4 my = 0,7 mz = 1n = 0,012

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys, kurio naudingumo koeficientas 75%, tiekia 150 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 30 m slėgio aukštį. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite reikiamą veleno galią P_shaft kW.

Q = 150 L/sH = 30 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 20 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 8 m aukščiau. Vamzdis yra 400 m ilgio, jo vidinis skersmuo 100 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,018; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 6 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Viršutinis bakas uždaras, o oro virš vandens manometrinis slėgis yra 300 kPa. Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.

Q = 20 L/sΔz = 8 mL = 400 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 6p_tank = 300 kPa

H = m

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Investuojate €3 000 esant 3 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 3 metų.

PV = €3 0003% / 4n = 3

FV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

Kiekvieno mėnesio pabaigoje 22 metus atidedate €250. Sąskaita moka 7,2 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.

A = €2507,2% / 12N = 264

FV = €

27.NPV ir IRRVidutinis

€20 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €5 000, €8 000, €5 000, €10 000. Kapitalo kaina – 10 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 8 000CF₃ = 5 000CF₄ = 10 000

NPV = €

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €10 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €6 000, €6 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 500

IRR = %

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,4515. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,4515

z =

30.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 90 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 6,875 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 15·6 + 25 = 0

R_B = 65/8 = 8,125 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 15 − 8,125 = 6,875 kN

Atsakymas

R_A = 6,875 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 606,7 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·10·10 = 50 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = W·x̄ + P·a = 50·3,333 + 55·8 = 606,7 kN·m

Atsakymas

M_A = 606,7 kN·m

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas DH

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas D

CD ir DE yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 62,5 kN (T), BC: 62,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 52,5 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 88,39 kN (C), HE: 74,25 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 31,82 kN (T), HC: 45,96 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: DH

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −28,01 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·5 + 10·4 → C_y = 42,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 42,5 = 17,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −17,5/0,6247 = −28,01 kN

Atsakymas

F_AB = −28,01 kN (gniuždymas)

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = 2,5 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 12,5 − 5·2 = 2,5 kN

Atsakymas

V_x = 2,5 kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 69,17 kN, R₂ = 85,83 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = 1,667, M_D = 18,33, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = −40 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: θ_A = 0,0124 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Galo posūkio kampas

θ_A = wL³/(24EI) = 6·5000³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,0124 rad

Atsakymas

θ_A = 0,0124 rad

Tai yra 0,7105°.

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 163,7 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·3500⁴/(384·11000·9,722) = 2,741 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·2,741 × 10⁷/75)^1/3 = 163,7 mm

Atsakymas

h_req = 163,7 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 12,34 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/6000² = 12337 N = 12,34 kN

Atsakymas

P_cr = 12,34 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 42,11 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·65000 = 195000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 42,11 mm

Atsakymas

d = 42,11 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 118,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 22,73 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

sienelė: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·232,5 + 1760·110)/4260 = 181,9 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·25³/12 + 2500·(232,5 − 181,9)² = 6,534 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 8·220³/12 + 1760·(110 − 181,9)² = 1,619 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,534 × 10⁶ + 1,619 × 10⁷ = 2,273 × 10⁷ mm⁴ = 22,73 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 22,73 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 268,3 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (36000·150 − 800·105)/(36000 − 800) = 151 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·300³/12 + 36000·−1,023² = 270 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

40·20³/12 + 800·−46,02² = 1,721 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 268,3 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 268,3 × 10⁶ mm⁴

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ = 102 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 19·2 = 102 kPa

Atsakymas

σ = 102 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: u = 49,05 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Atsakymas

u = 49,05 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 215,3 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 105 + 190 = 295 kPa > 225 kPa

Nuosėdis

Pakartotinis spaudimas iki σ′_p, pirminis spaudimas už jo.

S = 0,05·6/(1 + 1,1)·log₁₀(225/105) + 0,5·6/(1 + 1,1)·log₁₀(295/225)

S = 47,28 + 168,1 = 215,3 mm

Atsakymas

S = 215,3 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 931,1 dienos

Drenavimo keliai

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 5,5 m

Perskaičiuokite laiką

t = T_v·H_dr²/c_v, kai T_v ir c_v laboratorijoje ir natūroje vienodi.

t_field = 4·(5,5/0,0095)² = 1,341 × 10⁶ min

t_field = 1,341 × 10⁶/1440 = 931,1 dienos

Atsakymas

t = 931,1 dienos

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 79,71 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·2,5 = 79,71 kN

Atsakymas

F = 79,71 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 150,8 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5·3 = 150,8 kN

Atsakymas

F = 150,8 kN

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: h_f = 0,51 m

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Vidutinis greitis

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,05/0,07069 = 0,7074 m/s

Greitinis aukštis

V²/(2g) = 0,7074²/(2·9,81) = 0,0255 m

Darsi–Veisbacho lygtis

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,3)·0,7074²/(2·9,81) = 0,51 m

Atsakymas

h_f = 0,51 m

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δz = 1,572 m

Greitis

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,018·100/0,3 = 6

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Bendri slėgio aukščio nuostoliai

h_f = 6·0,1469 = 0,8814 m

h_m = 4,7·0,1469 = 0,6904 m

Δz = h_f + h_m = 1,572 m

Atsakymas

Δz = 1,572 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 40,47 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = b·y = 5,5·1,6 = 8,8 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·1,6 = 8,7 m

R = A/P = 1,011 m

Greitis

V = (1/0,012)·1,011^2/3·0,003^1/2 = 4,599 m/s

Debitas

Q = A·V = 8,8·4,599 = 40,47 m³/s

Atsakymas

Q = 40,47 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,004249 m/m

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·0,7)·0,7 = 3,29 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0,7·√(1 + 1²) = 5,98 m

R = A/P = 0,5502 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·12/(3,29·0,6714) = 0,06519

S = 0,06519² = 0,004249

Atsakymas

S = 0,004249

Tai 4,249 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 58,86 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·30 = 44,15 kW

Veleno galia

P_shaft = P_h/η = 44,15/0,75 = 58,86 kW

Atsakymas

P_shaft = 58,86 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: H = 64,36 m

Greitis

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (72 + 6)·0,3305 = 25,78 m

Pjezometrinis aukštis

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Siurblio slėgio aukštis

Abu paviršiai praktiškai nejuda, todėl greitinio aukščio nario nėra.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 30,58 + 25,78 = 64,36 m

Atsakymas

H = 64,36 m

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 3281 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·3 = 12

Būsimoji vertė

FV = 3 000·(1 + 0,0075)¹² = 3 000·1,094 = €3 281,42

Atsakymas

FV = €3 281,42

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 160475 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·22 = 264

Įmokų būsimoji vertė

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(4,851 − 1)/0,006 = €160 474,92

Atsakymas

FV = €160 474,92

Patys įnešėte €66 000; likusi dalis – palūkanos.

27.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 1744 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 5 000/1,1 = 4 545,45

CF₂/(1 + 0,1)² = 8 000/1,21 = 6 611,57

CF₃/(1 + 0,1)³ = 5 000/1,331 = 3 756,57

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 10 000/1,464 = 6 830,13

Sudėkite

NPV = €1 743,73

Atsakymas

NPV = €1 743,73

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

28.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 16,02 %

Apribokite IRR iš abiejų pusių

Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.

NPV(15%) = 132,33

NPV(20%) = −486,11

Siaurinkite

Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.

IRR ≈ 15 + 5·132,33/(132,33 − (−486,11)) = 16,07%

tiksliai: NPV(16,02%) = 0 → IRR = 16,02%

Atsakymas

IRR = 16,02%

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,6

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,4515)/2 = 0,7257

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,7257 ir nuskaitykite z.

z = 0,60

Atsakymas

z = 0,60

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 256,4 g

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,9

z iš lentelės

z ≈ 1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Atsakymas

x = 256,4 g

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil