Skysčių mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Tolydumas ir Bernulis

Tolydumas: A₁v₁ = A₂v₂
Bernulio lygtis: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Debitas: Q = A·v
Skritulio plotas: A = πd²/4

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Uždaviniai

1.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 3 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 1 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (jūros vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 0,5 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 0,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Tolydumas ir BernulisVidutinis

Pito ir Prandtlio vamzdelis aerodinaminiame vamzdyje rodo 300 Pa skirtumą tarp stabdymo slėgio ir statinio slėgio. Oro tankis 1,2 kg/m³. Raskite oro greitį v.

p₀ − p = 300 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Tolydumas ir BernulisSunkus

Uždarame vandens rezervuare virš vandens yra suslėgtas oras, kurio manometrinis slėgis 190 kPa. Vanduo išteka į atvirą orą per 40 mm skersmens angą, esančią 3,5 m žemiau vandens paviršiaus. Nepaisydami nuostolių, raskite debitą Q. Imkite g = 9,81 m/s².

p_air = 190 kPa (manometrinis)h = 3,5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo 20 L/s debitu teka 150 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 150 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,03 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius h_f.

Q = 20 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

150 m ilgio vamzdis, kurio vidinis skersmuo 200 mm (Darsi trinties koeficientas f = 0,018), išeina iš atviro rezervuaro ir laisva čiurkšle išteka į orą. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 4 alkūnės (K = 0,3 kiekviena) ir sklendė (K = 10). Imkite g = 9,81 m/s². Kiek aukščiau H už vamzdžio galą turi būti rezervuaro paviršius, kad debitas būtų 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys tiekia 30 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 16 m slėgio aukštį. Siurblio naudingumo koeficientas 75%, o jį sukančio elektros variklio – 94%. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite variklio naudojamą elektrinę galią P_el kW.

Q = 30 L/sH = 16 mη_pump = 75%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 75 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 6 m aukščiau. Vamzdis yra 200 m ilgio, jo vidinis skersmuo 200 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,018; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 4 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Siurblio naudingumo koeficientas 78%. Raskite veleno galią P_shaft kW.

Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 4η = 78%

P_shaft = kW

3Tirpalai

1.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 77,25 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·4,5 = 77,25 kN

Atsakymas

F = 77,25 kN

2.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 1,722 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,5·4 = 60,33 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 1,333/(1,5·4) = 1,722 m

Atsakymas

y_cp = 1,722 m

3.Tolydumas ir Bernulis

Atsakymas: v = 22,36 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernulio lygtis iki stabdymo taško

Ties vamzdelio galu srautas sustoja, todėl jo kinetinė energija pasireiškia kaip papildomas slėgis.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·300/1,2) = 22,36 m/s

Atsakymas

v = 22,36 m/s

4.Tolydumas ir Bernulis

Atsakymas: Q = 26,62 L/s

Bernulio lygtis nuo paviršiaus iki čiurkšlės

v = √(2·(190000/1000 + 9,81·3,5)) = 21,18 m/s

Debitas

Q = A·v = 0,001257·21,18 = 0,02662 m³/s = 26,62 L/s

Atsakymas

Q = 26,62 L/s

5.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: h_f = 1,959 m

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Vidutinis greitis

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

Greitinis aukštis

V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m

Darsi–Veisbacho lygtis

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,15)·1,132²/(2·9,81) = 1,959 m

Atsakymas

h_f = 1,959 m

6.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: H = 13,53 m

Greitis

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,018·150/0,2 = 13,5

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Energijos lygtis

Ištekanti čiurkšlė vis dar turi greitinį aukštį; tai ne nuostolis, bet jį reikia suteikti.

H = (1 + 13,5 + 11,7)·0,5164 = 13,53 m

Atsakymas

H = 13,53 m

7.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_el = 6,679 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·16 = 4,709 kW

Veleno galia

P_shaft = 4,709/0,75 = 6,278 kW

Elektrinė galia

P_el = 6,278/0,94 = 6,679 kW

Atsakymas

P_el = 6,679 kW

8.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 11,69 kW

Greitis

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 4)·0,2905 = 6,391 m

Siurblio slėgio aukštis

H = Δz + h_L = 6 + 6,391 = 12,39 m

Veleno galia

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·12,39/0,78 = 11,69 kW

Atsakymas

P_shaft = 11,69 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics