Hidrostatinė jėga
- Slėgis gylyje
- p = ρgh
- Jėga į vertikalią sieną
- F = ρg·hc·A
- Slėgio centras
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Stačiakampis
- Ic = bH³/12
Hidrotechnika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tolydumas ir Bernulis
- Tolydumas
- A1v1 = A2v2
- Bernulio lygtis
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debitas
- Q = A·v
- Skritulio plotas
- A = πd²/4
Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai
- Reinoldso skaičius
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Tekėjimo režimas
- laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
- Vidutinis greitis
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darsi–Veisbacho lygtis
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Vietiniai nuostoliai
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Tipinės K vertės
- įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
- Slėgio kritimas
- Δp = ρ·g·hf
- Du atviri rezervuarai
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Laisvas ištekėjimas
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Siurbliai ir siurblių galia
- Hidraulinė galia
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Veleno galia
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrinė galia
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Siurblio slėgio aukštis
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Sistemos nuostoliai
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)
- Manningo lygtis
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Debitas
- Q = A·V
- Hidraulinis spindulys
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Stačiakampis
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapecija (šlaito nuolydis z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas
- R = D/4
- Reikiamas nuolydis
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Uždaviniai
1.Hidrostatinė jėgaVidutinis
Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 1,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.
d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hidrostatinė jėgaSunkus
Vertikali stačiakampė 1,5 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (alyva) sienoje, jos viršutinis kraštas 3 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį ycp žemiau paviršiaus.
d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Tolydumas ir BernulisVidutinis
Vanduo teka horizontaliu vamzdžiu, kuris siaurėja nuo 75 mm iki 50 mm. Plačiojoje dalyje slėgis yra 240 kPa, o greitis 1,5 m/s. Nepaisydami nuostolių, raskite slėgį p2 siaurojoje dalyje.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 240 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Tolydumas ir BernulisSunkus
Horizontaliu Venturio matuokliu (įėjimas 200 mm, gerklė 150 mm) teka vanduo. Tarp įėjimo ir gerklės prijungtas gyvsidabrinis U formos manometras rodo 80 mm lygių skirtumą. Debito koeficientas lygus 0,96. Raskite debitą Q. Vandeniui imkite ρ = 1000 kg/m³, gyvsidabriui 13 600 kg/m³, o g = 9,81 m/s².
d1 = 200 mmd2 = 150 mmΔh = 80 mmCd = 0,96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis
Vanduo 2 L/s debitu teka 100 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 50 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,028 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius hf.
Q = 2 L/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus
400 m ilgio vamzdis, kurio vidinis skersmuo 250 mm (Darsi trinties koeficientas f = 0,015), išeina iš atviro rezervuaro ir laisva čiurkšle išteka į orą. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 3 alkūnės (K = 0,3 kiekviena) ir sklendė (K = 10). Imkite g = 9,81 m/s². Kiek aukščiau H už vamzdžio galą turi būti rezervuaro paviršius, kad debitas būtų 60 L/s?
Q = 60 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis
Siurblys, kurio naudingumo koeficientas 70%, tiekia 30 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 48 m slėgio aukštį. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite reikiamą veleno galią Pshaft kW.
Q = 30 L/sH = 48 mη = 70%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus
Siurblys perpumpuoja 40 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 17 m aukščiau. Vamzdis yra 150 m ilgio, jo vidinis skersmuo 150 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,025; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 5 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.
Q = 40 L/sΔz = 17 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 5
H = m
9.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis
Trapecinio žvyras kanalo dugno plotis 6 m, o šlaitų nuolydis 3:1 (horizontalusis:vertikalusis). Vanduo teka tolygiai 1,7 m gylyje. Manningo n = 0,025, dugno nuolydis S = 0,0008. Raskite debitą Q m³/s.
b = 6 my = 1,7 mz = 3n = 0,025S = 0,0008
Q = m³/s
10.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus
Trapecinis nelygintas betonas kanalas, kurio dugno plotis 3,5 m, o šlaitų nuolydis 2:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 44 m³/s tolygiu tekėjimu 1,8 m gylyje. Manningo n = 0,014. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).
Q = 44 m³/sb = 3,5 my = 1,8 mz = 2n = 0,014
S = m/m
3Tirpalai
1.Hidrostatinė jėga
Atsakymas: F = 98,1 kN
Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·yc·A. Ji veikia slėgio centre, ycp = yc + Ic/(ycA), kuris visada yra žemiau svorio centro.
Svorio centro gylis ir plotas
yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Atstojamoji jėga
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·4 = 98,1 kN
Atsakymas
F = 98,1 kN
2.Hidrostatinė jėga
Atsakymas: ycp = 3,8 m
Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·yc·A. Ji veikia slėgio centre, ycp = yc + Ic/(ycA), kuris visada yra žemiau svorio centro.
Svorio centro gylis ir plotas
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Atstojamoji jėga
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3,75·2,25 = 72,84 kN
Slėgio centras
Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.
Ic = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,75 + 0,4219/(3,75·2,25) = 3,8 m
Atsakymas
ycp = 3,8 m
3.Tolydumas ir Bernulis
Atsakymas: p2 = 235,4 kPa
Tolydumas ir Bernulis: nespūdžiam skysčiui debitas visuose pjūviuose vienodas, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Išilgai srovės linijos be nuostolių p + ½ρv² + ρgz yra pastovus, todėl ten, kur skystis greitesnis ar aukščiau, slėgis mažesnis.
Tolydumas ir Bernulis
Skaičiuokite Pa, tada padalykite iš 1000, kad gautumėte kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(75/50)² = 3,375 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 3,375²)/1000 = −4,57 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 240 + (−4,57) = 235,4 kPa
Atsakymas
p2 = 235,4 kPa
4.Tolydumas ir Bernulis
Atsakymas: Q = 91,25 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Slėgių skirtumas iš manometro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,08 = 9888 Pa
Greitis gerklėje
Tolydumo ir Bernulio lygtys kartu duoda idealųjį greitį gerklėje.
β = 150/200 = 0,75
v2 = √(2·9888/(1000·(1 − 0,3164))) = 5,379 m/s
Tikrasis debitas
Q = Cd·A2·v2 = 0,96·0,01767·5,379 = 0,09125 m³/s = 91,25 L/s
Atsakymas
Q = 91,25 L/s
5.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai
Atsakymas: hf = 2,961 m
Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius hf = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius hm = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = hf + hm, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.
Vidutinis greitis
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,002/0,001963 = 1,019 m/s
Greitinis aukštis
V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m
Darsi–Veisbacho lygtis
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,05)·1,019²/(2·9,81) = 2,961 m
Atsakymas
hf = 2,961 m
6.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai
Atsakymas: H = 2,772 m
Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius hf = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius hm = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = hf + hm, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.
Greitis
V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s
V²/(2g) = 0,07615 m
Nuostolių koeficientai
f·L/D = 0,015·400/0,25 = 24
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4
Energijos lygtis
Ištekanti čiurkšlė vis dar turi greitinį aukštį; tai ne nuostolis, bet jį reikia suteikti.
H = (1 + 24 + 11,4)·0,07615 = 2,772 m
Atsakymas
H = 2,772 m
7.Siurbliai ir siurblių galia
Atsakymas: Pshaft = 20,18 kW
Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: Pshaft = Ph/ηpump, o variklis ima Pel = Pshaft/ηmotor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.
Hidraulinė galia
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·48 = 14,13 kW
Veleno galia
Pshaft = Ph/η = 14,13/0,7 = 20,18 kW
Atsakymas
Pshaft = 20,18 kW
8.Siurbliai ir siurblių galia
Atsakymas: H = 24,83 m
Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: Pshaft = Ph/ηpump, o variklis ima Pel = Pshaft/ηmotor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.
Greitis
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
Slėgio aukščio nuostoliai
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 5)·0,2611 = 7,834 m
Siurblio slėgio aukštis
Abu paviršiai atviri ir praktiškai nejuda, todėl slėgio ir greičio nariai išnyksta.
H = Δz + hL = 17 + 7,834 = 24,83 m
Atsakymas
H = 24,83 m
9.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)
Atsakymas: Q = 23,11 m³/s
Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R2/3·S1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.
Geometrija
A = (b + z·y)·y = (6 + 3·1,7)·1,7 = 18,87 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,7·√(1 + 3²) = 16,75 m
R = A/P = 1,126 m
Greitis
V = (1/0,025)·1,1262/3·0,00081/2 = 1,225 m/s
Debitas
Q = A·V = 18,87·1,225 = 23,11 m³/s
Atsakymas
Q = 23,11 m³/s
10.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)
Atsakymas: S = 0,00203 m/m
Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R2/3·S1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.
Geometrija
A = (b + z·y)·y = (3,5 + 2·1,8)·1,8 = 12,78 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,8·√(1 + 2²) = 11,55 m
R = A/P = 1,107 m
Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·44/(12,78·1,07) = 0,04506
S = 0,04506² = 0,00203
Atsakymas
S = 0,00203
Tai 2,03 m kritimas kiekviename kilometre.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering