Hidrostatinė jėga
- Slėgis gylyje
- p = ρgh
- Jėga į vertikalią sieną
- F = ρg·hc·A
- Slėgio centras
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Stačiakampis
- Ic = bH³/12
Hidrotechnika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tolydumas ir Bernulis
- Tolydumas
- A1v1 = A2v2
- Bernulio lygtis
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debitas
- Q = A·v
- Skritulio plotas
- A = πd²/4
Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai
- Reinoldso skaičius
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Tekėjimo režimas
- laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
- Vidutinis greitis
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darsi–Veisbacho lygtis
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Vietiniai nuostoliai
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Tipinės K vertės
- įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
- Slėgio kritimas
- Δp = ρ·g·hf
- Du atviri rezervuarai
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Laisvas ištekėjimas
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Siurbliai ir siurblių galia
- Hidraulinė galia
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Veleno galia
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrinė galia
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Siurblio slėgio aukštis
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Sistemos nuostoliai
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)
- Manningo lygtis
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Debitas
- Q = A·V
- Hidraulinis spindulys
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Stačiakampis
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapecija (šlaito nuolydis z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas
- R = D/4
- Reikiamas nuolydis
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Uždaviniai
1.Hidrostatinė jėgaVidutinis
Vertikali stačiakampė 1 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hidrostatinė jėgaSunkus
Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 2 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį ycp žemiau paviršiaus.
d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Tolydumas ir BernulisVidutinis
Vanduo teka horizontaliu Venturio matuokliu, kurio įėjimo skersmuo 250 mm, o gerklės skersmuo 125 mm. Slėgis įėjime 10 kPa didesnis nei gerklėje. Nepaisydami nuostolių, raskite debitą Q.
d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 10 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Tolydumas ir BernulisSunkus
Vanduo kyla vamzdžiu, kuris siaurėja nuo 150 mm iki 75 mm ir pakyla 9 m. 1 pjūvyje slėgis yra 240 kPa, o greitis 1,5 m/s. Nepaisydami nuostolių, raskite slėgį p2 2 pjūvyje.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 240 kPav1 = 1,5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis
Vanduo 2,7 m/s vidutiniu greičiu teka 400 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 100 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,018 ir g = 9,81 m/s². Raskite trinties slėgio aukščio nuostolius hf.
V = 2,7 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus
Du atviri rezervuarai sujungti 400 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 200 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015. Viršutinio rezervuaro vandens paviršius yra 20 m aukščiau nei žemutinio. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 4 alkūnės (K = 0,3 kiekviena), sklendė (K = 2) ir ištekėjimas į žemutinį rezervuarą (K = 1,0). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite debitą Q L/s.
Δz = 20 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis
Siurblys, kurio naudingumo koeficientas 72%, tiekia 40 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 74 m slėgio aukštį. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite reikiamą veleno galią Pshaft kW.
Q = 40 L/sH = 74 mη = 72%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus
Siurblys perpumpuoja 80 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 11 m aukščiau. Vamzdis yra 200 m ilgio, jo vidinis skersmuo 200 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 4 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Viršutinis bakas uždaras, o oro virš vandens manometrinis slėgis yra 400 kPa. Raskite slėgio aukštį H, kurį turi sukurti siurblys.
Q = 80 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 4ptank = 400 kPa
H = m
9.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis
Trapecinio velėna išklotas gruntas kanalo dugno plotis 2,5 m, o šlaitų nuolydis 2:1 (horizontalusis:vertikalusis). Vanduo teka tolygiai 0,9 m gylyje. Manningo n = 0,03, dugno nuolydis S = 0,002. Raskite debitą Q m³/s.
b = 2,5 my = 0,9 mz = 2n = 0,03S = 0,002
Q = m³/s
10.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus
Trapecinis velėna išklotas gruntas kanalas, kurio dugno plotis 5,5 m, o šlaitų nuolydis 1:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 3,6 m³/s tolygiu tekėjimu 0,5 m gylyje. Manningo n = 0,03. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).
Q = 3,6 m³/sb = 5,5 my = 0,5 mz = 1n = 0,03
S = m/m
3Tirpalai
1.Hidrostatinė jėga
Atsakymas: F = 40,47 kN
Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·yc·A. Ji veikia slėgio centre, ycp = yc + Ic/(ycA), kuris visada yra žemiau svorio centro.
Svorio centro gylis ir plotas
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Atstojamoji jėga
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN
Atsakymas
F = 40,47 kN
2.Hidrostatinė jėga
Atsakymas: ycp = 2,533 m
Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·yc·A. Ji veikia slėgio centre, ycp = yc + Ic/(ycA), kuris visada yra žemiau svorio centro.
Svorio centro gylis ir plotas
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Atstojamoji jėga
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN
Slėgio centras
Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.
Ic = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,5 + 0,1667/(2,5·2) = 2,533 m
Atsakymas
ycp = 2,533 m
3.Tolydumas ir Bernulis
Atsakymas: Q = 56,68 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Tolydumas
v1 = v2·(125/250)² = 0,25·v2
Bernulio lygtis tarp įėjimo ir gerklės
Vamzdis horizontalus, todėl kinta tik slėgis ir greitis.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·10000/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,619 m/s
v1 = 1,155 m/s
Debitas
Q = A2·v2 = 0,01227·4,619 = 0,05668 m³/s = 56,68 L/s
Atsakymas
Q = 56,68 L/s
4.Tolydumas ir Bernulis
Atsakymas: p2 = 134,8 kPa
Tolydumas ir Bernulis: nespūdžiam skysčiui debitas visuose pjūviuose vienodas, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Išilgai srovės linijos be nuostolių p + ½ρv² + ρgz yra pastovus, todėl ten, kur skystis greitesnis ar aukščiau, slėgis mažesnis.
Tolydumas ir Bernulis
Skaičiuokite Pa, tada padalykite iš 1000, kad gautumėte kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(150/75)² = 6 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 6²)/1000 = −16,88 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 240 + (−16,88) − 88,29 = 134,8 kPa
Atsakymas
p2 = 134,8 kPa
5.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai
Atsakymas: hf = 26,75 m
Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius hf = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius hm = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = hf + hm, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.
Greitinis aukštis
V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m
Darsi–Veisbacho lygtis
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,1)·2,7²/(2·9,81) = 26,75 m
Atsakymas
hf = 26,75 m
6.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai
Atsakymas: Q = 105,6 L/s
Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius hf = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius hm = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = hf + hm, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.
Nuostolių koeficientai
f·L/D = 0,015·400/0,2 = 30
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Energijos lygtis
Abu paviršiai atviri orui ir praktiškai nejuda, todėl visas Δz prarandamas vamzdyje.
20 = (30 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·20/34,7) = 3,363 m/s
Debitas
Q = V·π·D²/4 = 3,363·0,03142 = 0,1056 m³/s = 105,6 L/s
Atsakymas
Q = 105,6 L/s
7.Siurbliai ir siurblių galia
Atsakymas: Pshaft = 40,33 kW
Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: Pshaft = Ph/ηpump, o variklis ima Pel = Pshaft/ηmotor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.
Hidraulinė galia
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·74 = 29,04 kW
Veleno galia
Pshaft = Ph/η = 29,04/0,72 = 40,33 kW
Atsakymas
Pshaft = 40,33 kW
8.Siurbliai ir siurblių galia
Atsakymas: H = 58,05 m
Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: Pshaft = Ph/ηpump, o variklis ima Pel = Pshaft/ηmotor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.
Greitis
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Slėgio aukščio nuostoliai
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 4)·0,3305 = 6,28 m
Pjezometrinis aukštis
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m
Siurblio slėgio aukštis
Abu paviršiai praktiškai nejuda, todėl greitinio aukščio nario nėra.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 11 + 40,77 + 6,28 = 58,05 m
Atsakymas
H = 58,05 m
9.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)
Atsakymas: Q = 4,073 m³/s
Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R2/3·S1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.
Geometrija
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·0,9)·0,9 = 3,87 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,9·√(1 + 2²) = 6,525 m
R = A/P = 0,5931 m
Greitis
V = (1/0,03)·0,59312/3·0,0021/2 = 1,052 m/s
Debitas
Q = A·V = 3,87·1,052 = 4,073 m³/s
Atsakymas
Q = 4,073 m³/s
10.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)
Atsakymas: S = 0,003945 m/m
Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R2/3·S1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.
Geometrija
A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1·0,5)·0,5 = 3 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,5·√(1 + 1²) = 6,914 m
R = A/P = 0,4339 m
Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·3,6/(3·0,5731) = 0,06281
S = 0,06281² = 0,003945
Atsakymas
S = 0,003945
Tai 3,945 m kritimas kiekviename kilometre.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering