Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,1 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 15; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 30. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 95 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 1,1 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 15N₂ = 30η = 95%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 30 dantų, o kiekvienas satelitas – 15 dantų. Vainikinis krumpliaratis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1200 rpm greičiu. Raskite vedžiklio sukimosi greitį n_c.

N_s = 30N_p = 15n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 20 mm, sukamas 100 N·m sukimo momentu. Abu 400 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 1,82° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 100 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1,82°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 100 kW esant 500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 100 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 60 MPa, σᵧ = −20 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −70 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 250 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = −70 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš varis (skersmuo 60 mm, ilgis 400 mm, E = 120 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,25 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 120 MPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 110 GPa, leistinasis įtempis 100 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

200 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 100 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,6. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 200 kgk = 100 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 50 kN/m ir k₂ = 60 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 20,79 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/100,5 = 10,94 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 10,94·30/15·0,95 = 20,79 N·m

Atsakymas

T₂ = 20,79 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_c = 400 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·15 = 60

Viliso lygtis, kai vainikas nejudamas

Imkite n_r = 0 ir raskite vedžiklio greitį.

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −60/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·30/90 = 400 rpm

Atsakymas

n_c = 400 rpm

Vedžiklis sukasi ta pačia kryptimi kaip saulės krumpliaratis.

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 80,17 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,82·π/180 = 0,03176 rad

Šlyties modulis

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·400/(15708·0,03176) = 80166 MPa

G = 80,17 GPa

Atsakymas

G = 80,17 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 54,53 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·60)) = 54,53 mm

Atsakymas

d = 54,53 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 72,11 MPa

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((60 − −20)/2)² + −60²) = 72,11 MPa

Atsakymas

τ_max = 72,11 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 1,838

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = −15 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 53,01 MPa, σ₂ = −83,01 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 136 MPa

n = 250/136 = 1,838

Atsakymas

n = 1,838

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 46,1 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·2827) = 1,179 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,25/5,423 × 10⁻⁶ = 46099 N = 46,1 kN

Atsakymas

P = 46,1 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 287 kN

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0006, 0,0009091) = 0,0006 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0006·4,783 × 10⁸ = 286984 N = 287 kN

Atsakymas

P_max = 287 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 20,47 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1500² = 20470 N = 20,47 kN

Atsakymas

P_cr = 20,47 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 34,27 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Atsakymas

σ_cr = 34,27 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 2,847 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(100000/200) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,6²) = 2,847 Hz

Atsakymas

f_d = 2,847 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 110 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 60 = 110 kN/m

Atsakymas

k_eq = 110 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design