Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

3 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 15; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 48. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 96 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 3 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 15N₂ = 48η = 96%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2880 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (40 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 432 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 2880 rpmA = 15B = 40C = 12n_out = 432 rpm

N_D =

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 40 mm, ilgis 1 m; ruožo BC skersmuo 25 mm, ilgis 0,5 m. Laisvajame gale C veikia 750 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

T = 750 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,5 m

τ_max = MPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 100 kW esant 1500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 100 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 10 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Raskite fon Mizeso ekvivalentinį įtempį σ_vM.

σ_x = 20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (varis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 25 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 80 kN1 ruožas: Ø25 mm, 0,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

150 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 25 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 770 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 150 kgk = 25 kN/mc = 770 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 10 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 50 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 91,67 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/100,5 = 29,84 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 29,84·48/15·0,96 = 91,67 N·m

Atsakymas

T₂ = 91,67 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 30

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 2880·15/40 = 1080 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 12·1080/432 = 30

Atsakymas

N_D = 30

3.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 244,5 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Įtempis kiekviename ruože

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_AB = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

τ_BC = 16·750000/(π·25³) = 244,5 MPa

Atsakymas

τ_max = 244,5 MPa

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 34,35 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

Atsakymas

d = 34,35 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −28,15 °

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−30, 10 − −30) = −56,31°

Kampas elemente

θ_p = −28,15°

Atsakymas

θ_p = −28,15°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_vM = 138,6 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = −30 MPa, R = 78,1 MPa

σ₁ = 48,1 MPa, σ₂ = −108,1 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(48,1² − 48,1·(−108,1) + (−108,1)²) = 138,6 MPa

Atsakymas

σ_vM = 138,6 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,306 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/490,9 = 50,93 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 50,93/117000 = 0,0004353 = 435,3 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0004353·3000 mm = 1,306 mm

Atsakymas

δ = 1,306 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 10,23 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 163 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 163·500/70000 = 1,164 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707,4·1500/117000 = 9,069 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 10,23 mm

Atsakymas

δ = 10,23 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 25,7 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/8000² = 25702 N = 25,7 kN

Atsakymas

P_cr = 25,7 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 12,34 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Atsakymas

σ_cr = 12,34 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1988

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·150) = 3873 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 770/3873 = 0,1988

Atsakymas

ζ = 0,1988

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 4,745 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 30 + 50 = 80 kN/m

k_eq = 80·10/(80 + 10) = 8,889 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(8889/10) = 29,81 rad/s

f_n = 29,81/(2π) = 4,745 Hz

Atsakymas

f_n = 4,745 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design