Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

120 mm skriemulys sukasi 1450 rpm ir diržu suka 500 mm skriemulį, slydimas 1 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 500 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 80 mm ir 300 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 600 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 80 mmd₂ = 300 mmC = 600 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 2000 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 30 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 3 m atstumu nuo A ir 2,5 m atstumu nuo B, pridėtas 250 N·m sukimo momentas. Raskite skerspjūvio C posūkio kampą φ_C laipsniais.

d = 30 mmT₀ = 250 N·ma = 3 mb = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 90 MPa, σᵧ = 110 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 40° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 90 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 30 mm skersmens velenas perduoda 100 N·m lenkimo momentą kartu su 1000 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 30 mmM = 100 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 50 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 65 kN1 ruožas: Ø25 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1,5 m, plienas (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

10 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 1 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,6. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 10 kgk = 1 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 25 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 344,5 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1450·120/500 = 348 rpm

Su slydimu

n₂ = 348·0,99 = 344,5 rpm

Atsakymas

n₂ = 344,5 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 158,9 °

Diržo kampas

asin(0,1833) = 10,56°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·10,56 = 158,9°

Atsakymas

θ = 158,9°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 66 mm

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·60·0,5904)) = 66 mm

d_i = 0,8·66 = 52,8 mm

Atsakymas

d_o = 66 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 55,37 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 3,07 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·2,5/5,5 = 113,6 N·m

T_B = 250·3/5,5 = 136,4 N·m

C posūkio kampas

Naudokite ruožą AC: jis įtvirtintas ties A ir perduoda T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 113636·3000/(80000·79522) = 0,05359 rad = 3,07°

Atsakymas

φ_C = 3,07°

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 160,8 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 100 − (−10)·0,1736 − (−60)·0,9848 = 160,8 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 39,18 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 200 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 160,8 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 208,4 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37,73 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·30³) = 188,6 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 18,86 MPa

R = √(18,86² + 188,6²) = 189,6 MPa

σ₁ = C + R = 208,4 MPa

σ₂ = C − R = −170,7 MPa

Atsakymas

σ₁ = 208,4 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,776 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201,1 = 248,7 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 248,7/70000 = 0,003553 = 3553 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,003553·500 mm = 1,776 mm

Atsakymas

δ = 1,776 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 323,3 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 323,3 MPa

Atsakymas

σ_max = 323,3 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 6,867 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/8000² = 6867 N = 6,867 kN

Atsakymas

P_cr = 6,867 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 12,34 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Atsakymas

σ_cr = 12,34 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 1,273 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(1000/10) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,6²) = 1,273 Hz

Atsakymas

f_d = 1,273 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 11,25 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 25 = 125 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(125000/25) = 70,71 rad/s

f_n = 70,71/(2π) = 11,25 Hz

Atsakymas

f_n = 11,25 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design