Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,1 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 20; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 24. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 95 %. Raskite sukimo momentą T₁ variklio velene.

P = 1,1 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 20N₂ = 24η = 95%

T₁ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 125 mm varantįjį skriemulį, sukamą 1440 rpm, su 200 mm skriemuliu; ašys nutolusios 1000 mm. Trinties koeficientas yra 0,25, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 800 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 125 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 200 mmC = 1000 mmμ = 0,25T₁ = 800 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 2000 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,5, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 15 kW esant 300 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 80 MPa ir σᵧ = 60 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 135 MPa?

σ_x = 80 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 135 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −40 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 300 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = −60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (varis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 50 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 120 kN1 ruožas: Ø35 mm, 2 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 0,5 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 40 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 40 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 15 mm poslinkio amplitudės po 3 ciklų seka 10,3 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 15 mmx₃ = 10,3 mmn = 3

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 15 kN/m ir k₂ = 60 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 50 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₁ = 3,622 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/303,7 = 3,622 N·m

Atsakymas

T₁ = 3,622 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 4,037 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Apkabos kampas

θ = 3,067 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,7666 = 2,153, T₂ = 800/2,153 = 371,7 N

Galia

P = (800 − 371,7)·9,425 = 4,037 kW

Atsakymas

P = 4,037 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 64,76 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·40·0,9375)) = 64,76 mm

d_i = 0,5·64,76 = 32,38 mm

Atsakymas

d_o = 64,76 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 63,38 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 9,763 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·37,5/1,834 × 10⁶ = 9,763 MPa

Atsakymas

τ_max = 9,763 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 64,23 MPa

Reikiamas spindulys

C = (80 + 60)/2 = 70 MPa

R = σ₁ − C = 135 − 70 = 65 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 10²) = 64,23 MPa

Atsakymas

τ_xy = 64,23 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 3,288

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = −50 MPa, R = 41,23 MPa

σ₁ = −8,769 MPa, σ₂ = −91,23 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 91,23 MPa

n = 300/91,23 = 3,288

Atsakymas

n = 3,288

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,063 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201,1 = 248,7 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 248,7/117000 = 0,002125 = 2125 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,002125·500 mm = 1,063 mm

Atsakymas

δ = 1,063 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 4,683 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 124,7 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 124,7·2000/117000 = 2,132 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 596,8·500/117000 = 2,551 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,683 mm

Atsakymas

δ = 4,683 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 2,12 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2500² = 2120 N = 2,12 kN

Atsakymas

P_cr = 2,12 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 58,6 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 58,6 mm

Atsakymas

d = 58,6 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 136,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,01994

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/3)·ln(15/10,3) = 0,1253

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1253/√(39,48 + 0,0157) = 0,01994

Atsakymas

ζ = 0,01994

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 75 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 60 = 75 kN/m

Atsakymas

k_eq = 75 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design