Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 80 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 960 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 800 N, laisvosios – 400 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 80 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 800 NT₂ = 400 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

1,1 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (25 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (45 dantų). Krumpliaratis C (15 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (80 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 97%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 1,1 kWn_in = 960 rpmA = 25B = 45C = 15D = 80η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 20 kW esant 1800 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 0 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 600 mm, o sienelės storis 5 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 1 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 55° kampą su cilindro ašimi. Raskite normalinį įtempį σ_n, veikiantį skersai suvirinimo siūlės.

D = 600 mmt = 5 mmp = 1 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš bronza (skersmuo 50 mm, ilgis 500 mm, E = 110 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,5 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: bronza, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 60 mm, ilgis 500 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 50 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 40 mm poslinkio amplitudės po 4 ciklų seka 3,2 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 40 mmx₄ = 3,2 mmn = 4

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 25 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 25 kN/m ir k₂ = 100 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 1,608 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 4,021 m/s

Galia

P = (800 − 400)·4,021 = 1608 W = 1,608 kW

Atsakymas

P = 1,608 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 98,83 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 960·(25/45)·(15/80) = 100 rpm

ω_out = 2π·100/60 = 10,47 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 1100·0,97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/10,47 = 98,83 N·m

Atsakymas

T_out = 98,83 N·m

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 6,576 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(26000·251327) = 0,1148 rad

φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Atsakymas

φ = 6,576°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 22,11 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·50)) = 22,11 mm

Atsakymas

d = 22,11 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 60,21 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((0 − 10)/2)² + 60²) = 60,21 MPa

Atsakymas

τ_max = 60,21 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_n = 39,87 MPa

Sienelės įtempiai

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 1·300/5 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

σ_n = 30·sin²55° + 60·cos²55° = 39,87 MPa

Atsakymas

σ_n = 39,87 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 76,23 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1963) = 2,315 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,5/6,559 × 10⁻⁶ = 76230 N = 76,23 kN

Atsakymas

P = 76,23 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 13,72 MPa

Standumai

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 120000·2827/500 = 678584 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 50000·678584/874934 = 38779 N

Įtempis

σ₂ = 38779/2827 = 13,72 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 13,72 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 28,79 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/5000² = 28786 N = 28,79 kN

Atsakymas

P_cr = 28,79 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 179 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Atsakymas

σ_cr = 179 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,09999

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/4)·ln(40/3,2) = 0,6314

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6314/√(39,48 + 0,3987) = 0,09999

Atsakymas

ζ = 0,09999

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 5,137 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 25 + 100 = 125 kN/m

k_eq = 125·25/(125 + 25) = 20,83 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(20833/20) = 32,27 rad/s

f_n = 32,27/(2π) = 5,137 Hz

Atsakymas

f_n = 5,137 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design