Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

200 mm skriemulys sukasi 720 rpm ir diržu suka 400 mm skriemulį, slydimas 1,5 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 720 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 400 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 12 dantų, o kiekvienas satelitas – 30 dantų. Vedžiklis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 900 rpm greičiu. Raskite vainikinio krumpliaračio sukimosi greitį n_r (didumą).

N_s = 12N_p = 30n_s = 900 rpm

n_r = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 50 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,5 m atstumu nuo A, veikia 1500 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 0,8 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 250 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 50 mmT_B = 1500 N·mT_C = 250 N·mAB = 1,5 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 50° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 30 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Raskite fon Mizeso ekvivalentinį įtempį σ_vM.

σ_x = 40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 120 GPa). Abu 800 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 250 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 250 kNstrypas: Ø40 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 60 mm, ilgis 500 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 50 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 115 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 115 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

8 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 15 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 100 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 8 kgk = 15 kN/mc = 100 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 5 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 80 kN/m ir k₂ = 100 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 354,6 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

720·200/400 = 360 rpm

Su slydimu

n₂ = 360·0,985 = 354,6 rpm

Atsakymas

n₂ = 354,6 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_r = 150 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·30 = 72

Viliso lygtis, kai vedžiklis nejudamas

Kai n_c = 0, saulės krumpliaratis per satelitus suka vainiką, o satelitai veikia kaip tarpiniai krumpliaračiai.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·12/72 = −150 rpm

|n_r| = 150 rpm

Atsakymas

n_r = 150 rpm

Vainikas sukasi priešinga kryptimi nei saulės krumpliaratis.

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 8,314 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(26000·79522) = 0,1451 rad

φ = 0,1451·180/π = 8,314°

Atsakymas

φ = 8,314°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 50,93 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 1500 = −1250 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 1250 N·m

τ_max = 16·1,25 × 10⁶/(π·50³) = 50,93 MPa

Atsakymas

τ_max = 50,93 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = −10,51 MPa

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = −5 − 25·(−0,1736) − 10·0,9848 = −10,51 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 0,5069 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −10 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = −10,51 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_vM = 63,25 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 35 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = 65,41 MPa, σ₂ = 4,586 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(65,41² − 65,41·4,586 + 4,586²) = 63,25 MPa

Atsakymas

σ_vM = 63,25 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,2341 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 250000·800/8,545 × 10⁸ = 0,2341 mm

Atsakymas

δ = 0,2341 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 11,09 MPa

Standumai

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 50000·395841/631460 = 31343 N

Įtempis

σ₂ = 31343/2827 = 11,09 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 11,09 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 5,997 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/3000² = 5997 N = 5,997 kN

Atsakymas

P_cr = 5,997 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 57,46 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·115000 = 345000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 57,46 mm

Atsakymas

d = 57,46 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 121,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1443

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·8) = 692,8 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 100/692,8 = 0,1443

Atsakymas

ζ = 0,1443

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 1,57 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 80 + 100 = 180 kN/m

k_eq = 180·5/(180 + 5) = 4,865 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(4865/50) = 9,864 rad/s

f_n = 9,864/(2π) = 1,57 Hz

Atsakymas

f_n = 1,57 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design