Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

3 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 16; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 50. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 95 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 16N₂ = 50η = 95%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 16 dantų, o kiekvienas satelitas – 15 dantų. Vedžiklis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1500 rpm greičiu. Raskite vainikinio krumpliaračio sukimosi greitį n_r (didumą).

N_s = 16N_p = 15n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 100 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 30 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,5 m atstumu nuo A, veikia 1500 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,2 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 750 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 30 mmT_B = 1500 N·mT_C = 750 N·mAB = 1,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −10 MPa ir σᵧ = −40 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 20 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaσ₁ = 20 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 300 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = 20 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 10 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 250 MPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 100 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPavamzdis: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 150 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 150 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 15 mm poslinkio amplitudės po 2 ciklų seka 3,3 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 15 mmx₂ = 3,3 mmn = 2

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 20 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 58,65 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 19,76·50/16·0,95 = 58,65 N·m

Atsakymas

T₂ = 58,65 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_r = 521,7 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·15 = 46

Viliso lygtis, kai vedžiklis nejudamas

Kai n_c = 0, saulės krumpliaratis per satelitus suka vainiką, o satelitai veikia kaip tarpiniai krumpliaračiai.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·16/46 = −521,7 rpm

|n_r| = 521,7 rpm

Atsakymas

n_r = 521,7 rpm

Vainikas sukasi priešinga kryptimi nei saulės krumpliaratis.

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 0,8549 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·251327) = 0,01492 rad

φ = 0,01492·180/π = 0,8549°

Atsakymas

φ = 0,8549°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 141,5 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 1500 = −750 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Atsakymas

τ_max = 141,5 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 42,43 MPa

Reikiamas spindulys

C = (−10 + (−40))/2 = −25 MPa

R = σ₁ − C = 20 − (−25) = 45 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 15²) = 42,43 MPa

Atsakymas

τ_xy = 42,43 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 3,486

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 50 MPa, R = 36,06 MPa

σ₁ = 86,06 MPa, σ₂ = 13,94 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 86,06 MPa

n = 300/86,06 = 3,486

Atsakymas

n = 3,486

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,373 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/200000 = 0,0002487 = 248,7 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0002487·1500 mm = 0,373 mm

Atsakymas

δ = 0,373 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 216,8 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·2199 = 3,613 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00125, 0,0006) = 0,0006 (žalvaris)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0006·3,613 × 10⁸ = 216770 N = 216,8 kN

Atsakymas

P_max = 216,8 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 8,583 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2100² = 8583 N = 8,583 kN

Atsakymas

P_cr = 8,583 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 140,3 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·150000 = 375000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 140,3 mm

Atsakymas

d = 140,3 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 285,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1196

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/2)·ln(15/3,3) = 0,7571

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7571/√(39,48 + 0,5731) = 0,1196

Atsakymas

ζ = 0,1196

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 40 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 20 = 40 kN/m

Atsakymas

k_eq = 40 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design