Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,5 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka slieką (pradų skaičius 2). Sliekratis turi 60 dantų, o pavaros naudingumo koeficientas 80%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_w ant sliekračio veleno.

z = 2N_w = 60n = 960 rpmP = 1,5 kWη = 80%

T_w = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (20 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 3000 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (60 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (15 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 3000 rpmA = 20B = 60C = 12D = 15

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 25 mm, ilgis 0,8 m; ruožo BC skersmuo 20 mm, ilgis 0,8 m. Laisvajame gale C veikia 200 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 200 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 20 mm, L₂ = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 75 kW esant 1500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 1000 mm, o sienelės storis 10 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 2,5 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 40° kampą su cilindro ašimi. Raskite tangentinio įtempio didumą |τ_n|, veikiančio išilgai suvirinimo siūlės.

D = 1000 mmt = 10 mmp = 2,5 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (plienas) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 50 mm, ilgis 300 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 100 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 15 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 15 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

2 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 1 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 30 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 2 kgk = 1 kN/mc = 30 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 5 kN/m, apatinės k₂ = 20 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_w = 358,1 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 960·2/60 = 32 rpm

Išėjimo sukimo momentas

ω_w = 2π·32/60 = 3,351 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,8·1500/3,351 = 358,1 N·m

Atsakymas

T_w = 358,1 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 800 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 3000·20/60 = 1000 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 1000·12/15 = 800 rpm

Atsakymas

n_out = 800 rpm

bendras perdavimo skaičius = 3,75 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 21,09 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 200000·800/(39000·38350) = 0,107 rad

φ_BC = 200000·800/(39000·15708) = 0,2612 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,107 + 0,2612 = 0,3682 rad = 21,09°

Atsakymas

φ_C = 21,09°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 31,89 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·75)) = 31,89 mm

Atsakymas

d = 31,89 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −84,35 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−10, −20 − 80) = −168,7°

Kampas elemente

θ_p = −84,35°

Atsakymas

θ_p = −84,35°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: |τ_n| = 30,78 MPa

Sienelės įtempiai

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2,5·500/10 = 125 MPa

σ_a = pr/(2t) = 62,5 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

|τ_n| = (125 − 62,5)·sin 40°·cos 40° = 30,78 MPa

Atsakymas

|τ_n| = 30,78 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 1120 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 110·1000/490,9 = 224,1 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 224,1/200000 = 0,00112 = 1120 µε

Atsakymas

ε = 1120 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 28,81 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·1963/300 = 654498 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 100000·654498/1,157 × 10⁶ = 56561 N

Įtempis

σ₂ = 56561/1963 = 28,81 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 28,81 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 6,056 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/10000² = 6056 N = 6,056 kN

Atsakymas

P_cr = 6,056 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 72,51 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 72,51 mm

Atsakymas

d = 72,51 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 275,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,3354

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(1000·2) = 89,44 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 30/89,44 = 0,3354

Atsakymas

ζ = 0,3354

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 4 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/20 → k_eq = 5·20/(5 + 20) = 4 kN/m

Atsakymas

k_eq = 4 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design