Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

80 mm skriemulys sukasi 1500 rpm ir diržu suka 315 mm skriemulį, slydimas 2,5 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 315 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2900 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (80 dantų). Krumpliaratis C (25 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (36 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 2900 rpmA = 15B = 80C = 25D = 36

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 20 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,2 m atstumu nuo A, veikia 500 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 2 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 250 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 20 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 1,2 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 30° pagal laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 60 mm skersmens velenas perduoda 1500 N·m lenkimo momentą kartu su 1500 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 60 mmM = 1500 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (aliuminis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 250 MPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 100 GPa, leistinasis įtempis 50 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPavamzdis: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 70 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 70 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 20 mm poslinkio amplitudės po 5 ciklų seka 0,9 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 20 mmx₅ = 0,9 mmn = 5

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 15 kN/m, apatinės k₂ = 12 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 371,4 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1500·80/315 = 381 rpm

Su slydimu

n₂ = 381·0,975 = 371,4 rpm

Atsakymas

n₂ = 371,4 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 377,6 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 2900·15/80 = 543,8 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 543,8·25/36 = 377,6 rpm

Atsakymas

n_out = 377,6 rpm

bendras perdavimo skaičius = 7,68 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,796 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Atsakymas

φ = 1,796°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 159,2 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 500 = −250 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Atsakymas

τ_max = 159,2 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 11,16 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 5 − 5·0,5 − 10·(−0,866) = 11,16 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = −1,16 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 11,16 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 85,39 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·60³) = 70,74 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35,37 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 35,37 MPa

R = √(35,37² + 35,37²) = 50,02 MPa

σ₁ = C + R = 85,39 MPa

σ₂ = C − R = −14,65 MPa

Atsakymas

σ₁ = 85,39 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 606,3 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/706,9 = 42,44 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 42,44/70000 = 0,0006063 = 606,3 µε

Atsakymas

ε = 606,3 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 322 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·5027 = 6,44 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00125, 0,0005) = 0,0005 (žalvaris)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0005·6,44 × 10⁸ = 322013 N = 322 kN

Atsakymas

P_max = 322 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 139,5 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139,5 kN

Atsakymas

P_cr = 139,5 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 60,67 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·70000 = 210000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 60,67 mm

Atsakymas

d = 60,67 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 164,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,09823

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/5)·ln(20/0,9) = 0,6202

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6202/√(39,48 + 0,3847) = 0,09823

Atsakymas

ζ = 0,09823

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,055 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/12 → k_eq = 15·12/(15 + 12) = 6,667 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(6667/40) = 12,91 rad/s

f_n = 12,91/(2π) = 2,055 Hz

Atsakymas

f_n = 2,055 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design