Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Du lygiagretūs velenai yra 200 mm atstumu vienas nuo kito. Juos reikia sujungti cilindrinių tiesiadančių krumpliaračių pora, kurios modulis 5 mm, o greičio sumažinimas 3 : 1. Kiek dantų N₁ turi turėti krumpliaratukas?

a = 200 mmm = 5 mmi = 3

N₁ =

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 200 mm ir 500 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 1200 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 200 mmd₂ = 500 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 75 mm, ilgis 0,8 m; ruožo BC skersmuo 20 mm, ilgis 0,5 m. Laisvajame gale C veikia 100 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 20 mm, L₂ = 0,5 m

τ_max = MPa

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 50 kW esant 1450 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 50 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 110 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 20° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 110 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −70 MPa, σᵧ = 20 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 250 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σ_x = −70 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (žalvaris) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 120 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 20 kN1 ruožas: Ø35 mm, 2 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 2 m, žalvaris (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

25 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 100 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,45. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 25 kgk = 100 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 15 kN/m ir k₂ = 50 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N₁ = 20

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Bendras dantų skaičius

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·200/5 = 80

Padalykite pagal perdavimo skaičių

N₁ = 80/(1 + 3) = 20

Atsakymas

N₁ = 20

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 165,6 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,125) = 7,181°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·7,181 = 165,6°

Atsakymas

θ = 165,6°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 63,66 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Įtempis kiekviename ruože

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·75³) = 1,207 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa

Atsakymas

τ_max = 63,66 MPa

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 27,95 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 329286·20/235619 = 27,95 MPa

Atsakymas

τ_max = 27,95 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 61,04 MPa

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 75 − 35·0,766 − (−20)·0,6428 = 61,04 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 88,96 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 150 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 61,04 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 2,579

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = −25 MPa, R = 54,08 MPa

σ₁ = 29,08 MPa, σ₂ = −79,08 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(29,08² − 29,08·(−79,08) + (−79,08)²) = 96,95 MPa

n = 250/96,95 = 2,579

Atsakymas

n = 2,579

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 11,46 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 120·1000/314,2 = 382 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 382/100000 = 0,00382 = 3820 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,00382·3000 mm = 11,46 mm

Atsakymas

δ = 11,46 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 63,66 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 20,79 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 63,66 MPa

Atsakymas

σ_max = 63,66 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 467,9 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1500² = 467892 N = 467,9 kN

Atsakymas

P_cr = 467,9 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 69,09 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Atsakymas

σ_cr = 69,09 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 8,989 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(100000/25) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,45²) = 8,989 Hz

Atsakymas

f_d = 8,989 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 65 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 50 = 65 kN/m

Atsakymas

k_eq = 65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design