Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

4 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 18; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 60. Nuostolių nepaisykite. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 4 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 60η = 100%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (40 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 960 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (45 dantų). Krumpliaratis C (25 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (32 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 960 rpmA = 40B = 45C = 25D = 32

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 40 mm, ilgis 1,5 m; ruožo BC skersmuo 30 mm, ilgis 1,5 m. Laisvajame gale C veikia 200 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 200 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 40 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 2,5 m atstumu nuo A, veikia 1500 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 2,5 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 200 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 40 mmT_B = 1500 N·mT_C = 200 N·mAB = 2,5 mBC = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 140 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 40 mm skersmens velenas perduoda 70 kN ašinę tempimo jėgą kartu su 500 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 40 mmF = 70 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš varis (skersmuo 50 mm, ilgis 200 mm, E = 120 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,2 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 65 kN1 ruožas: Ø35 mm, 0,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 0,5 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 10 mm poslinkio amplitudės po 2 ciklų seka 6 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 6 mmn = 2

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 40 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 10 kN/m ir k₂ = 5 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 84,88 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/157,1 = 25,46 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 25,46·60/18·1 = 84,88 N·m

Atsakymas

T₂ = 84,88 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 666,7 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 960·40/45 = 853,3 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 853,3·25/32 = 666,7 rpm

Atsakymas

n_out = 666,7 rpm

bendras perdavimo skaičius = 1,44 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 7,296 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 200000·1500/(39000·251327) = 0,03061 rad

φ_BC = 200000·1500/(39000·79522) = 0,09673 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,03061 + 0,09673 = 0,1273 rad = 7,296°

Atsakymas

φ_C = 7,296°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 16,07 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 1500 = −1300 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −1,3 × 10⁶·2500/(39000·251327) = −0,3316 rad

φ_BC = 200000·2500/(39000·251327) = 0,05101 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = −0,3316 + 0,05101 = −0,2806 rad → |φ_C| = 16,07°

Atsakymas

φ_C = 16,07°

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 50,99 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((140 − 40)/2)² + 10²) = 50,99 MPa

Atsakymas

τ_max = 50,99 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 76,42 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = 70000/(π·40²/4) = 70000/1257 = 55,7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 27,85 MPa

R = √(27,85² + 39,79²) = 48,57 MPa

σ₁ = C + R = 76,42 MPa

σ₂ = C − R = −20,72 MPa

Atsakymas

σ₁ = 76,42 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 40,62 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1963) = 8,488 × 10⁻⁷ mm/N

Apkrova

P = 0,2/4,923 × 10⁻⁶ = 40624 N = 40,62 kN

Atsakymas

P = 40,62 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,367 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 67,56 MPa

σ₂ = 206,9 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,56·500/70000 = 0,4826 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 206,9·500/117000 = 0,8842 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,367 mm

Atsakymas

δ = 1,367 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 17,27 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/5000² = 17272 N = 17,27 kN

Atsakymas

P_cr = 17,27 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 111 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Atsakymas

σ_cr = 111 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,04062

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/2)·ln(10/6) = 0,2554

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2554/√(39,48 + 0,06524) = 0,04062

Atsakymas

ζ = 0,04062

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,717 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 10 + 5 = 15 kN/m

k_eq = 15·40/(15 + 40) = 10,91 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(10909/20) = 23,35 rad/s

f_n = 23,35/(2π) = 3,717 Hz

Atsakymas

f_n = 3,717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design