Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

3 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 30 dantų, kurio modulis 2,5 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 3 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 2,5 mm

F_t = N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 120 mm ir 200 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 600 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 120 mmd₂ = 200 mmC = 600 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 60 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,2 m atstumu nuo A, veikia 400 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,2 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 200 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 60 mmT_B = 400 N·mT_C = 200 N·mAB = 1,2 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 0 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 160 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 60 mm, ilgis 300 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,5 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 60 mm, ilgis 300 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 30 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 95 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 95 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

150 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 25 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,35. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 150 kgk = 25 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 25 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 10 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 530,5 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 3000/150,8 = 19,89 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 2,5·30 = 75 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·19,89/0,075 = 530,5 N

Atsakymas

F_t = 530,5 N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 172,4 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,06667) = 3,823°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·3,823 = 172,4°

Atsakymas

θ = 172,4°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 2,63 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(26000·251327) = 0,04591 rad

φ = 0,04591·180/π = 2,63°

Atsakymas

φ = 2,63°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 14,15 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 400 = 600 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 600 N·m

τ_max = 16·600000/(π·60³) = 14,15 MPa

Atsakymas

τ_max = 14,15 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 65 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((0 − 50)/2)² + −60²) = 65 MPa

Atsakymas

τ_max = 65 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 85 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 115 + 45·0 + 30·−1 = 85 MPa

Atsakymas

σ_θ = 85 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 121,5 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1,061 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,5/4,117 × 10⁻⁶ = 121453 N = 121,5 kN

Atsakymas

P = 121,5 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 9,095 MPa

Standumai

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 100000·2827/300 = 942478 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 30000·942478/1,1 × 10⁶ = 25714 N

Įtempis

σ₂ = 25714/2827 = 9,095 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 9,095 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 47,16 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2500² = 47164 N = 47,16 kN

Atsakymas

P_cr = 47,16 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 45,83 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 45,83 mm

Atsakymas

d = 45,83 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 130,9, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 1,925 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(25000/150) = 12,91 rad/s

f_n = 12,91/(2π) = 2,055 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,055·√(1 − 0,35²) = 1,925 Hz

Atsakymas

f_d = 1,925 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 4,156 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 20 + 10 = 30 kN/m

k_eq = 30·25/(30 + 25) = 13,64 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(13636/20) = 26,11 rad/s

f_n = 26,11/(2π) = 4,156 Hz

Atsakymas

f_n = 4,156 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design