Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

160 mm skriemulys sukasi 1450 rpm ir diržu suka 400 mm skriemulį, slydimas 4 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 400 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (18 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2900 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (60 dantų). Krumpliaratis C (24 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (72 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 2900 rpmA = 18B = 60C = 24D = 72

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (aliuminis; išorinis skersmuo 50 mm, vidinis skersmuo 35 mm, ilgis 2 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 500 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 500 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 60 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,2 m atstumu nuo A, veikia 250 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 2 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 500 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 60 mmT_B = 250 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,2 mBC = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 50 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = 50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 85 kN1 ruožas: Ø40 mm, 2 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 0,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 130 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 130 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

8 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 200 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 130 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 8 kgk = 200 kN/mc = 130 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 5 kN/m, apatinės k₂ = 60 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 556,8 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1450·160/400 = 580 rpm

Su slydimu

n₂ = 580·0,96 = 556,8 rpm

Atsakymas

n₂ = 556,8 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 290 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 2900·18/60 = 870 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 870·24/72 = 290 rpm

Atsakymas

n_out = 290 rpm

bendras perdavimo skaičius = 10 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 4,726 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Sukimo kampas

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·2000/(26000·466269) = 0,08249 rad

φ = 0,08249·180/π = 4,726°

Atsakymas

φ = 4,726°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 2,252 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 250 = 250 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 250000·1200/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,009069 rad

φ_BC = 500000·2000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,03023 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = 0,009069 + 0,03023 = 0,0393 rad → |φ_C| = 2,252°

Atsakymas

φ_C = 2,252°

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 42,14 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·50, 50 − 40) = 84,29°

Kampas elemente

θ_p = 42,14°

Atsakymas

θ_p = 42,14°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = −12,68 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −−20·0,866 + −60·0,5 = −12,68 MPa

Atsakymas

τ_θ = −12,68 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 637,6 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/117000 = 0,0006376 = 637,6 µε

Atsakymas

ε = 637,6 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 7,301 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 67,64 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,64·2000/70000 = 1,933 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 751,6·500/70000 = 5,368 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,301 mm

Atsakymas

δ = 7,301 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 49,44 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3500² = 49436 N = 49,44 kN

Atsakymas

P_cr = 49,44 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 85,59 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 85,59 mm

Atsakymas

d = 85,59 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 186,9, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,05139

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·8) = 2530 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 130/2530 = 0,05139

Atsakymas

ζ = 0,05139

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 4,615 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/60 → k_eq = 5·60/(5 + 60) = 4,615 kN/m

Atsakymas

k_eq = 4,615 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design