Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Du lygiagretūs velenai yra 75 mm atstumu vienas nuo kito. Juos reikia sujungti cilindrinių tiesiadančių krumpliaračių pora, kurios modulis 2,5 mm, o greičio sumažinimas 3 : 1. Kiek dantų N₂ turi turėti krumpliaratis?

a = 75 mmm = 2,5 mmi = 3

N₂ =

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (30 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (45 dantų). Krumpliaratis C (60 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 725 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 1450 rpmA = 30B = 45C = 60n_out = 725 rpm

N_D =

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 100 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 50 kW esant 1800 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 110 MPa, σᵧ = −10 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 40° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 50 mm, ilgis 300 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,3 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 50 mm, ilgis 500 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 60 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

15 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 25 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,7. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 15 kgk = 25 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 50 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 25 kN/m ir k₂ = 25 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N₂ = 45

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Bendras dantų skaičius

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·75/2,5 = 60

Padalykite pagal perdavimo skaičių

N₁ = 60/(1 + 3) = 15

N₂ = 3·15 = 45

Atsakymas

N₂ = 45

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 1450·30/45 = 966,7 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 60·966,7/725 = 80

Atsakymas

N_D = 80

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 0,9237 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(39000·79522) = 0,01612 rad

φ = 0,01612·180/π = 0,9237°

Atsakymas

φ = 0,9237°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 14,22 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·25/466269 = 14,22 MPa

Atsakymas

τ_max = 14,22 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 16,85 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·40, 110 − −10) = 33,69°

Kampas elemente

θ_p = 16,85°

Atsakymas

θ_p = 16,85°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 11,52 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = −5 + −75·0,1736 + 30·0,9848 = 11,52 MPa

Atsakymas

σ_θ = 11,52 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 68,85 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1,528 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,3/4,357 × 10⁻⁶ = 68850 N = 68,85 kN

Atsakymas

P = 68,85 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 16,45 MPa

Standumai

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 60000·274889/510509 = 32308 N

Įtempis

σ₂ = 32308/1963 = 16,45 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 16,45 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 117 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/3000² = 116973 N = 117 kN

Atsakymas

P_cr = 117 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 6,94 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/15 = 533,3

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Atsakymas

σ_cr = 6,94 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 4,64 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(25000/15) = 40,82 rad/s

f_n = 40,82/(2π) = 6,497 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,497·√(1 − 0,7²) = 4,64 Hz

Atsakymas

f_d = 4,64 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 5,033 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 25 + 25 = 50 kN/m

k_eq = 50·50/(50 + 50) = 25 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(25000/25) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Atsakymas

f_n = 5,033 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design