Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 125 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1500 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 1200 N, laisvosios – 480 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 480 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (20 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (80 dantų). Krumpliaratis C (32 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (48 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1450 rpmA = 20B = 80C = 32D = 48

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 1,5 m ilgio veleną (aliuminis) veikia 200 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 2°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 200 N·mL = 1,5 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 30 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 0,5 m atstumu nuo A, veikia 1000 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,5 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 500 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 30 mmT_B = 1000 N·mT_C = 500 N·mAB = 0,5 mBC = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −70 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 20° pagal laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = −70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −70 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 250 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σ_x = −70 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (plienas) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 120 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 100 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 80 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 80 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

25 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 20 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 710 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 25 kgk = 20 kN/mc = 710 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 60 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 12 kN/m ir k₂ = 100 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 7,069 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 9,817 m/s

Galia

P = (1200 − 480)·9,817 = 7069 W = 7,069 kW

Atsakymas

P = 7,069 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 241,7 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 1450·20/80 = 362,5 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 362,5·32/48 = 241,7 rpm

Atsakymas

n_out = 241,7 rpm

bendras perdavimo skaičius = 6 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 42,84 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1500/(26000·0,03491) = 330553 mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 42,84 mm

Atsakymas

d = 42,84 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 13,86 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 1000 = −500 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −500000·500/(26000·79522) = −0,1209 rad

φ_BC = 500000·1500/(26000·79522) = 0,3627 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = −0,1209 + 0,3627 = 0,2418 rad → |φ_C| = 13,86°

Atsakymas

φ_C = 13,86°

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 49,6 MPa

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 5 − (−75)·0,766 − (−20)·(−0,6428) = 49,6 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = −39,6 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 49,6 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 1,983

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 0 MPa, R = 72,8 MPa

σ₁ = 72,8 MPa, σ₂ = −72,8 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(72,8² − 72,8·(−72,8) + (−72,8)²) = 126,1 MPa

n = 250/126,1 = 1,983

Atsakymas

n = 1,983

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 282,9 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 40·1000/706,9 = 56,59 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 56,59/200000 = 0,0002829 = 282,9 µε

Atsakymas

ε = 282,9 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 213,5 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·3063 = 3,558 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0006, 0,001429) = 0,0006 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0006·3,558 × 10⁸ = 213471 N = 213,5 kN

Atsakymas

P_max = 213,5 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 13,49 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2000² = 13494 N = 13,49 kN

Atsakymas

P_cr = 13,49 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 84,76 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·80000 = 200000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 84,76 mm

Atsakymas

d = 84,76 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 236, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,502

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·25) = 1414 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 710/1414 = 0,502

Atsakymas

ζ = 0,502

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 14,07 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 12 + 100 = 112 kN/m

k_eq = 112·60/(112 + 60) = 39,07 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(39070/5) = 88,4 rad/s

f_n = 88,4/(2π) = 14,07 Hz

Atsakymas

f_n = 14,07 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design