Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

15 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 32; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 80. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 97 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 15 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 32N₂ = 80η = 97%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (45 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 72,5 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 1450 rpmA = 15B = 45C = 12n_out = 72,5 rpm

N_D =

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 20 kW esant 300 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 20 kWN = 300 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = 60 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 20° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = −20 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (žalvaris) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 30 kNd = 12 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 50 mm, ilgis 400 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 40 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 140 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 140 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

8 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 50 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 630 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 8 kgk = 50 kN/mc = 630 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 40 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 12 kN/m ir k₂ = 100 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 361,8 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/100,5 = 149,2 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 149,2·80/32·0,97 = 361,8 N·m

Atsakymas

T₂ = 361,8 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 1450·15/45 = 483,3 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 12·483,3/72,5 = 80

Atsakymas

N_D = 80

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 3,603 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(80000·79522) = 0,06288 rad

φ = 0,06288·180/π = 3,603°

Atsakymas

φ = 3,603°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 8,333 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·40/3,056 × 10⁶ = 8,333 MPa

Atsakymas

τ_max = 8,333 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 31,36 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 20 − (−40)·0,766 − 30·0,6428 = 31,36 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 8,642 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 40 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 31,36 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 43,04 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 50 + 90·0,5 + −60·0,866 = 43,04 MPa

Atsakymas

σ_θ = 43,04 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 7,958 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/113,1 = 265,3 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 265,3/100000 = 0,002653 = 2653 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,002653·3000 mm = 7,958 mm

Atsakymas

δ = 7,958 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 13,98 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 40000·343612/500691 = 27451 N

Įtempis

σ₂ = 27451/1963 = 13,98 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 13,98 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 13,88 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/4000² = 13879 N = 13,88 kN

Atsakymas

P_cr = 13,88 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 63,18 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 63,18 mm

Atsakymas

d = 63,18 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 133, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,4981

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·8) = 1265 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 630/1265 = 0,4981

Atsakymas

ζ = 0,4981

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,864 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 12 + 100 = 112 kN/m

k_eq = 112·40/(112 + 40) = 29,47 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(29474/50) = 24,28 rad/s

f_n = 24,28/(2π) = 3,864 Hz

Atsakymas

f_n = 3,864 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design