Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 150 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 720 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 1200 N, laisvosios – 480 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 480 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 80 mm varantįjį skriemulį, sukamą 1500 rpm, su 400 mm skriemuliu; ašys nutolusios 500 mm. Trinties koeficientas yra 0,25, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 800 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 80 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 400 mmC = 500 mmμ = 0,25T₁ = 800 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 40 mm, ilgis 1 m; ruožo BC skersmuo 25 mm, ilgis 0,5 m. Laisvajame gale C veikia 750 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 750 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 30 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,5 m atstumu nuo A, veikia 400 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,2 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 1000 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 30 mmT_B = 400 N·mT_C = 1000 N·mAB = 1,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa ir τₓᵧ = 50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 30 mm skersmens velenas perduoda 100 kN ašinę gniuždymo jėgą kartu su 1500 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 30 mmF = −100 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 50 mm, ilgis 200 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,3 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 25 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 150 MPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 120 GPa, leistinasis įtempis 100 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 5 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 5 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

12 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 150 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 1070 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 12 kgk = 150 kN/mc = 1070 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 12 kN/m, apatinės k₂ = 100 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 4,072 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 5,655 m/s

Galia

P = (1200 − 480)·5,655 = 4072 W = 4,072 kW

Atsakymas

P = 4,072 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 2,329 kW

Apkabos kampas

θ = 2,49 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,6225 = 1,864, T₂ = 800/1,864 = 429,3 N

Galia

P = (800 − 429,3)·6,283 = 2,329 kW

Atsakymas

P = 2,329 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 9,141 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 750000·1000/(80000·251327) = 0,0373 rad

φ_BC = 750000·500/(80000·38350) = 0,1222 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,0373 + 0,1222 = 0,1595 rad = 9,141°

Atsakymas

φ_C = 9,141°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 264,1 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 400 = 1400 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 1400 N·m

τ_max = 16·1,4 × 10⁶/(π·30³) = 264,1 MPa

Atsakymas

τ_max = 264,1 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 50,25 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((10 − 0)/2)² + 50²) = 50,25 MPa

Atsakymas

τ_max = 50,25 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 220,9 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = −100000/(π·30²/4) = −100000/706,9 = −141,5 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282,9 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = −70,74 MPa

R = √((−70,74)² + 282,9²) = 291,7 MPa

σ₁ = C + R = 220,9 MPa

σ₂ = C − R = −362,4 MPa

Atsakymas

σ₁ = 220,9 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 95,52 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1963) = 1,019 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,3/3,141 × 10⁻⁶ = 95521 N = 95,52 kN

Atsakymas

P = 95,52 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 349,3 kN

Plotai

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·3063 = 4,657 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00075, 0,0008333) = 0,00075 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,00075·4,657 × 10⁸ = 349306 N = 349,3 kN

Atsakymas

P_max = 349,3 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 14,57 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/4200² = 14570 N = 14,57 kN

Atsakymas

P_cr = 14,57 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 28,34 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 28,34 mm

Atsakymas

d = 28,34 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 352,9, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,3988

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·12) = 2683 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 1070/2683 = 0,3988

Atsakymas

ζ = 0,3988

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,605 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/100 → k_eq = 12·100/(12 + 100) = 10,71 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(10714/40) = 16,37 rad/s

f_n = 16,37/(2π) = 2,605 Hz

Atsakymas

f_n = 2,605 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design