Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Du lygiagretūs velenai yra 187,5 mm atstumu vienas nuo kito. Juos reikia sujungti cilindrinių tiesiadančių krumpliaračių pora, kurios modulis 5 mm, o greičio sumažinimas 4 : 1. Kiek dantų N₂ turi turėti krumpliaratis?

a = 187,5 mmm = 5 mmi = 4

N₂ =

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 125 mm ir 315 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 600 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 125 mmd₂ = 315 mmC = 600 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 40 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,2 m atstumu nuo A, veikia 1000 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 3 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 250 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 40 mmT_B = 1000 N·mT_C = 250 N·mAB = 1,2 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 120 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 15° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 120 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 20 mm skersmens velenas perduoda 300 N·m lenkimo momentą kartu su 100 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 20 mmM = 300 N·mT = 100 N·m

σ₁ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 120 GPa). Abu 600 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 100 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 100 kNstrypas: Ø40 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 25 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 2 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

5 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 25 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 280 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 5 kgk = 25 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 5 kN/m, apatinės k₂ = 100 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N₂ = 60

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: F_t = 2T/d.

Bendras dantų skaičius

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·187,5/5 = 75

Padalykite pagal perdavimo skaičių

N₁ = 75/(1 + 4) = 15

N₂ = 4·15 = 60

Atsakymas

N₂ = 60

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 161,8 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,1583) = 9,11°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·9,11 = 161,8°

Atsakymas

θ = 161,8°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 5,986 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(39000·613592) = 0,1045 rad

φ = 0,1045·180/π = 5,986°

Atsakymas

φ = 5,986°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 6,412 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 1000 = 1250 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,25 × 10⁶·1200/(80000·251327) = 0,0746 rad

φ_BC = 250000·3000/(80000·251327) = 0,0373 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = 0,0746 + 0,0373 = 0,1119 rad → |φ_C| = 6,412°

Atsakymas

φ_C = 6,412°

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 107,7 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 100 − 20·0,866 − (−50)·0,5 = 107,7 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 92,32 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 200 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 107,7 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 392,3 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·20³) = 382 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 191 MPa

R = √(191² + 63,66²) = 201,3 MPa

σ₁ = C + R = 392,3 MPa

σ₂ = C − R = −10,33 MPa

Atsakymas

σ₁ = 392,3 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,1165 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·2199 = 5,152 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 100000·600/5,152 × 10⁸ = 0,1165 mm

Atsakymas

δ = 0,1165 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,75 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 25,98 MPa

σ₂ = 79,58 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 25,98·1500/100000 = 0,3898 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 79,58·2000/117000 = 1,36 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,75 mm

Atsakymas

δ = 1,75 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 514 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/2000² = 514042 N = 514 kN

Atsakymas

P_cr = 514 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 11,05 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Atsakymas

σ_cr = 11,05 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,396

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·5) = 707,1 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 280/707,1 = 0,396

Atsakymas

ζ = 0,396

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 1,737 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/100 → k_eq = 5·100/(5 + 100) = 4,762 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(4762/40) = 10,91 rad/s

f_n = 10,91/(2π) = 1,737 Hz

Atsakymas

f_n = 1,737 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design