Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

150 mm skriemulys sukasi 1450 rpm ir diržu suka 315 mm skriemulį, slydimas 4 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 315 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 100 mm ir 250 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 800 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 100 mmd₂ = 250 mmC = 800 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 15 kW esant 500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −40 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −80 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 20° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −80 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 120 GPa). Abu 300 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 100 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 100 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 120 MPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 120 GPa, leistinasis įtempis 70 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

25 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 80 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,5. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 25 kgk = 80 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 5 kN/m ir k₂ = 10 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 662,9 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1450·150/315 = 690,5 rpm

Su slydimu

n₂ = 690,5·0,96 = 662,9 rpm

Atsakymas

n₂ = 662,9 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 169,2 °

Diržo kampas

asin(0,09375) = 5,379°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·5,379 = 169,2°

Atsakymas

θ = 169,2°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 9,006 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(80000·79522) = 0,1572 rad

φ = 0,1572·180/π = 9,006°

Atsakymas

φ = 9,006°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 28,97 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·60)) = 28,97 mm

Atsakymas

d = 28,97 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 67,27 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−40 − 50)/2)² + −50²) = 67,27 MPa

Atsakymas

τ_max = 67,27 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −46,09 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 10 + −90·0,766 + −20·−0,6428 = −46,09 MPa

Atsakymas

σ_θ = −46,09 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,02588 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·8482 = 1,159 × 10⁹ N

Sutrumpėjimas

δ = 100000·300/1,159 × 10⁹ = 0,02588 mm

Atsakymas

δ = 0,02588 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 668,9 kN

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·7461 = 1,147 × 10⁹ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0006, 0,0005833) = 0,0005833 (varis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0005833·1,147 × 10⁹ = 668897 N = 668,9 kN

Atsakymas

P_max = 668,9 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 17,69 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1250² = 17686 N = 17,69 kN

Atsakymas

P_cr = 17,69 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 49,35 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Atsakymas

σ_cr = 49,35 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 7,797 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(80000/25) = 56,57 rad/s

f_n = 56,57/(2π) = 9,003 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 9,003·√(1 − 0,5²) = 7,797 Hz

Atsakymas

f_d = 7,797 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 15 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 10 = 15 kN/m

Atsakymas

k_eq = 15 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design