Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros
- Sukibę krumpliaračiai
- n1·N1 = n2·N2
- Sukimo momentas
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Galia
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Daugiapakopė pavara
- bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga
Mašinų elementai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Velenų sukimas
- Tangentinis įtempis
- τ = T·r/J
- Pilnaviduris velenas
- J = πd⁴/32
- Tuščiaviduris velenas
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sukimo kampas
- φ = TL/(GJ)
- Galia
- P = T·ω = 2πnT/60
Metodas
- Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
- Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
- Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
- Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.
Moro apskritimas ir įtempių transformacija
- Centras
- C = (σx + σy)/2
- Spindulys
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Pagrindiniai įtempiai
- σ1,2 = C ± R
- Pagrindinė kryptis
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Pasvirasis pjūvis
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Metodas
- Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
- Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
- Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ašinis įtempis ir deformacija
- Normalinis įtempis
- σ = F/A
- Deformacija
- ε = ΔL/L
- Huko dėsnis
- σ = E·ε
- Pailgėjimas
- ΔL = FL/(EA)
- Šiluminė deformacija
- εT = α·ΔT
Kolonų klupimas
- Oilerio kritinė jėga
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
- K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
- Kritinis įtempis
- σcr = Pcr/A
- Liaunis
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mechaniniai virpesiai
- Savasis dažnis
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Iš statinio įlinkio
- ωn = √(g/δst)
- Kritinis slopinimas
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Slopinimo koeficientas
- ζ = c/cc
- Slopinamųjų virpesių dažnis
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritminis slopinimo dekrementas
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
- k = k1 + k2
- Nuosekliai sujungtos spyruoklės
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Uždaviniai
1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
1,1 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 18; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 45. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 98 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T2 varomojo krumpliaračio velene.
P = 1,1 kWn1 = 1500 rpmN1 = 18N2 = 45η = 98%
T2 = N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (12 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2900 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (24 dantų). Krumpliaratis C (24 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (72 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį nout.
nin = 2900 rpmA = 12B = 24C = 24D = 72
nout = rpm
3.Velenų sukimasVidutinis
Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.
T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
Tuščiaviduris velenas perduoda 30 kW esant 3000 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τmax velene.
P = 30 kWN = 3000 rpmdo = 60 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
Taške σₓ = 90 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 45° pagal laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σy′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.
σx = 90 MPaσy = −30 MPaτxy = −20 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
Apkrautos detalės taške σₓ = 110 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.
σx = 110 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPaθ = -45°
σθ = MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Raskite ašinę deformaciją ε strype (plienas) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).
P = 105 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σmax strype.
P = 40 kN1 ruožas: Ø25 mm, 1 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Kolonų klupimasVidutinis
L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.
L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 30 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.
P = 30 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
150 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 100 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,3. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.
m = 150 kgk = 100 kN/mζ = 0,3
fd = Hz
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
20 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 5 kN/m, apatinės k₂ = 40 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.
m = 20 kgk1 = 5 kN/mk2 = 40 kN/m
fn = Hz
3Tirpalai
1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros
Atsakymas: T2 = 17,16 N·m
Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.
Variklio sukimo momentas
ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m
Išėjimo sukimo momentas
T2 = 7,003·45/18·0,98 = 17,16 N·m
Atsakymas
T2 = 17,16 N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros
Atsakymas: nout = 483,3 rpm
Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.
Pirmoji pakopa
nB = 2900·12/24 = 1450 rpm = nC
Antroji pakopa
nout = 1450·24/72 = 483,3 rpm
Atsakymas
nout = 483,3 rpm
bendras perdavimo skaičius = 6 : 1
3.Velenų sukimas
Atsakymas: φ = 1,796 °
Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.
Polinis inercijos momentas
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(26000·613592) = 0,03134 rad
φ = 0,03134·180/π = 1,796°
Atsakymas
φ = 1,796°
4.Velenų sukimas
Atsakymas: τmax = 3,294 MPa
Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.
Sukimo momentas
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m
Polinis inercijos momentas
J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴
Didžiausias tangentinis įtempis
τmax = T·(do/2)/J = 95493·30/869767 = 3,294 MPa
Atsakymas
τmax = 3,294 MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija
Atsakymas: σy′ = 10 MPa
Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Transformacijos lygtis y′ sienelei
σy′ = 30 − 60·0 − (−20)·(−1) = 10 MPa
Patikra
Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.
σx′ = 50 MPa, σx′ + σy′ = 60 = σx + σy
Atsakymas
σy′ = 10 MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija
Atsakymas: σθ = 65 MPa
Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Transformacijos lygtis
σθ = 95 + 15·0 + 30·−1 = 65 MPa
Atsakymas
σθ = 65 MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacija
Atsakymas: ε = 1070 µε
Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).
Įtempis
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 105·1000/490,9 = 213,9 MPa
Deformacija (Huko dėsnis)
E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 213,9/200000 = 0,00107 = 1070 µε
Atsakymas
ε = 1070 µε
8.Ašinis įtempis ir deformacija
Atsakymas: σmax = 353,7 MPa
Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.
Ta pati jėga abiejuose ruožuose
Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 81,49 MPa
σ2 = 353,7 MPa
Didžiausias įtempis
Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.
σmax = 353,7 MPa
Atsakymas
σmax = 353,7 MPa
9.Kolonų klupimas
Atsakymas: Pcr = 79,96 kN
Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.
Mažiausias inercijos momentas
Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴
Skaičiuojamasis ilgis
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
Kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/3000² = 79962 N = 79,96 kN
Atsakymas
Pcr = 79,96 kN
10.Kolonų klupimas
Atsakymas: d = 49,63 mm
Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.
Reikiama kritinė jėga
Pcr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
Išreiškite skersmenį
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 49,63 mm
Atsakymas
d = 49,63 mm
Patikra: liaunis KL/r yra 225,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.
11.Mechaniniai virpesiai
Atsakymas: fd = 3,92 Hz
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Neslopinamų virpesių savasis dažnis
ωn = √(100000/150) = 25,82 rad/s
fn = 25,82/(2π) = 4,109 Hz
Slopinamųjų virpesių savasis dažnis
fd = fn·√(1 − ζ²) = 4,109·√(1 − 0,3²) = 3,92 Hz
Atsakymas
fd = 3,92 Hz
12.Mechaniniai virpesiai
Atsakymas: fn = 2,373 Hz
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ekvivalentinis standumas
Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/5 + 1/40 → keq = 5·40/(5 + 40) = 4,444 kN/m
Savasis dažnis
ωn = √(4444/20) = 14,91 rad/s
fn = 14,91/(2π) = 2,373 Hz
Atsakymas
fn = 2,373 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design